1、上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷(2014年4月10日)考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域是 【答案】【KS5U解析】由，所以函数的定义域是。2函数的最小正周期 【答案】【KS5U解析】，所以。3已知全集，集合，若，则实数的取值范围是 【答案】【KS5U解
2、析】易知集合 ， 所以，因为，所以，所以实数的取值范围是。4已知等差数列的公差为，前项和为，则的数值是 【答案】【KS5U解析】因为等差数列的公差为，所以， ，所以。5函数的单调递增区间是 【答案】【KS5U解析】若a1，则若0a1，则当a1时，函数的单调递增区间为1，+）；当0a1时，函数的单调递增区间为1，+），综上：函数的单调递增区间为1，+），6函数的反函数是，则反函数的解析式是 【答案】【KS5U解析】由得，所以反函数的解析式是。7方程的解 【答案】【KS5U解析】因为，所以，即，所以，所以。8在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【KS5U解析】因为，所以由余弦定理得，所
3、以。9已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数 ， 【答案】【KS5U解析】因为是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，所以方程的另一个根为，所以，所以。10若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为，球心到该截面的距离是，则这个球的表面积是 【答案】【KS5U解析】因为截面的面积为16，所以截面圆的半径为4，因为球心O到平面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为452=10011(理)已知向量，则向量在向量的方向上的投影是 【答案】【KS5U解析】因为，所以，所以，所以向量在向量的方向上的投影是。12(理)直线的参数方程是是参数)，则直线的一个
4、方向向量是 (答案不唯一)【答案】【KS5U解析】把直线的参数方程是是参数)化为直角坐标方程为，所以直线的一个方向向量是（2，-1）。13(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值 【答案】【KS5U解析】由题意知：=1,2,3,4，又,，所以14已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程有且只有7个不同实数根，则(理)实数的取值范围是 【答案】【KS5U解析】由题意，f（x
5、）在（-，-2和0，2上是减函数，在-2，0和2，+）上是增函数，x=0时，函数取极大值1，x=2时，取极小值，|x|16时，f（x）1，关于x的方程有且只有7个不同实数根，设t=f（x），则方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2，其中t1=1，t2（，1），所以。二选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知，且，则下列结论恒成立的是 答 ( )A BCD【答案】C【KS5U解析】A 只有a,b为正数时才成立； B只有a,b为正数时才成立；C恒成立；D只有a,b不相等时才成立。1
6、6已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的 答 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【答案】B【KS5U解析】若l，则直线l上有两个点到平面的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面的距离相等，但此时l不成立，所以“直线l上有两个点到平面的距离相等”是“l”的必要不充分条件。17已知，则直线与圆：的位置关系是答 ( )A相交 B相切C相离D不能确定【答案】B【KS5U解析】圆心到直线的距离，因为，所以直线与圆：的位置关系是相切。18(理)给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事
7、件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项则其中真命题的序号是 答( )A(1)、(2) B(1)、(3) C(2)、(3) D(1)、(2)、(3)【答案】D【KS5U解析】（1）已知事件A、B是互斥事件，若P（A）=0.25，P（B）=0.35，则P（AB）=P（A）+P（B）=0.25+0.35=0.60，故（1）正确（2）已知事件A、B是互相独立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，则=0.850.6=0.51，故（2）正确；（3）由于的二项展开式的通项公式为，故只有当r=0，6，12，18时，展开式为有理项，故此二项式共有4个有理项，故（3）正确
8、三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分第19题图(理)已知直三棱柱中，是棱的中点如图所示(1)求证：平面；(2)求二面角的大小20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知复数(1)求的最小值；(2)设，记表示复数z的虚部). 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像. 试求函数的解析式21(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
9、某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内分界线固定，且=百米，边界线始终第21题图ABCO过点，边界线满足设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列满足()(1)求的值；(2)求(用含的式子表示)；(3) (理)记数列的前项和为，求(用含的式子表示)23(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分(理)已知
10、点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由参考答案和评分标准(2014年4月10日)一、填空题1； 8；2； 9；3 ； 10 ；4； 11(理)；5； 12(理)；6； 13(理) ；7； 14(理)二、选择题：15C16B17B18D三、解答题第19题图O()19本题满分12分(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系由题知，可得
11、点、 于是，可算得 因此， 又，所以， (2)设是平面的法向量 又， 取，可得即平面的一个法向量是由(1)知，是平面的一个法向量，记与的夹角为，则， 结合三棱柱可知，二面角是锐角， 所求二面角的大小是 20本题满分14分解(1)， . 当，即时， . (2)，. . 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是. 把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数是 . 21本题满分12分解(1)结合图形可知， 于是，解得(2)由(1)知，因此， (当且仅当，即时，等号成立) 答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米. 12分22本题满分18分解(1) ()， (2)由题知，有 (理)(3) ， 又，当为偶数时，当为奇数时，综上，有 23本题满分18分(理)解(1)由题知，有. 化简，得曲线的方程： (2)直线的斜率为，且不过点， 可设直线： 联立方程组得 又交点为， (3)答：一定存在满足题意的定圆.理由：动圆与定圆相内切， 两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值. 又恰好是曲线(椭圆)的右焦点，且是曲线上的动点，记曲线的左焦点为，联想椭圆轨迹定义，有， 若定圆的圆心与点重合，定圆的半径为4时，则定圆满足题意. 定圆的方程为：.
