1、常州市教育学会学业水平监测高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，则集合（ ）ABCD2记的内角为A，B，C，则“AB”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3已知等比数列的公比q0，且，则（ ）A8B12 C16 D204如图，该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ）ABCD5若的展开式中含的项的系数为21，则a（ ）A3B2C1D16设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）附：随机变量服从正态分布，A0.1587B0.1359C0.2718
2、D0.34137如图是一个近似扇形的湖面，其中OAOBr，弧AB的长为l（lr）为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB若当时，则的值约为（ ）ABCD8设，则（ ）AabcBcbaCcabDacb二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知等差数列的公差d0，且的前n项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（ ）A5B6C10D1110记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（ ）AB的最小值为BCD的取值范围为11已知函数及其导函数定义域均为，若，对任意
3、实数x都成立，则（ ）A函数是周期函数B函数是偶函数C函数的图象关于中心对称D函数与的图象关于直线对称12在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（ ）A一个K三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为B一个K三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为C一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为D一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数的最小正周期为_14已知正方体中，过点A作平面的垂线，垂足为H，
4、则直线AH与平面所成角的正弦值为_15在中，BC边上的中线长为，则的面积为_16将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，则_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和18（本小题满分12分）已知两个变量y与x线性相关，某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验，得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点，剩余的8个样本点满足，根据这8个样本点求得的线性回归方程为（其中）后为稳妥起见，研究小组又增加了2次实验，得到
5、2个偏差较小的样本点，根据这10个样本点重新求得线性回归方程为（其中，）（1）求的值；（2）证明回归直线经过点，并指出与3的大小关系参考公式：线性回归方程，其中，19（本小题满分12分）记函数的最小正周期为T若，且的图象关于直线对称（1）求的值；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域20（本小题满分12分）甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约去年，该校
6、数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况） 性别 人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，m，其中0m1（1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y当E（X）E
7、（Y）时，证明：P（A）P（B）参考公式与临界值表：，nabcd0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.63521（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面BCD，BD2，E为BC的中点（1）若，求直线BD与AE所成角的余弦值；（2）已知点F在线段AC上，且，求二面角FDEC的大小22（本小题满分12分）已知函数，（1）若在x0处的切线与在x1处的切线相同，求实数a的值；（2）令，直线ym与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，证明：常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个
8、选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】B【解析】，选B2【答案】C【解析】中，AB是的充要条件，选C3【答案】A【解析】等比数列中，又q0，q2，选A4【答案】D【解析】，排除B，排除AC，选D5【答案】C【解析】展开式第r1项，的系数，a1，选C6【答案】B【解析】时，选B7【答案】D【解析】令，则，则，选D8【答案】C【解析】法一：x0.2，令，0x1时，ab，令，在，ac，cab，选C法二：秒杀，运用到（，），cab，选C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9【答案】AB【解析】，d
9、0，是的最大值，选AB10【答案】BC【解析】a，b，c成等比数列，A错，B对，C对令，则，baq，D错11【答案】ABC【解析】为奇函数关于原点对称，关于x2对称，是周期为8的周期函数，A对，即，即，即为偶函数，B对，即，关于对称，C对，选ABC与关于x2对称，与不关于x2对称，D错12【答案】BCD【解析】方法一：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，4624，即24个等腰直角三角形，显然直角三角形不可能有72个，则A错对于B，等边三角形有：，共8个，等腰三角形共有32个，B对对于C，相互平行的棱共有个结
10、果，距离为的有326个结果，C对对于D中一组棱对中相互垂直的共有个结果，共面的有444224个结果，D对方法二：对于A，直角三角形共有，为等腰直角三角形的概率，A错对于B，等腰三角形共有，为等边三角形的有8个，故又是等边三角形的概率，B正确对于C，相互平行的棱有对，距离为的有6对，C正确对于D，相互垂直的棱有12448对，相互异面的有12224对，故，D正确选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13【答案】【解析】，14【答案】【解析】平面，与平面所成角与AH与平面所成角相等，平面，为与平面所成角，15【答案】【解析】，则AC4，设BC中点为D，则，16【答案】2022【解析
11、】36842052，当等差数列算到3（68410）2022（第674项）时，包含恰好的前10项，四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1）等差数列的公差为2，前n项和为，则，因为，成等比数列，所以，即，化为，解得所以（2），18【解析】（1）这8个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数，则（2）样本点，分别记为，则这10个样本点横坐标平均数，纵坐标平均数根据线性回归方程系数公式得，故ynxm过点19【解析】（1），所以因为函数图象关于直线对称，所以，所以，因为函数的最小正周期T满足，所以，解得，所以（2）由（1）得，所以因为，所以，在上的值域为20【解
12、析】（1）因为，且，所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关（2）因为小明参加各程序的结果相互不影响，所以，则Y的可能取值为0，1，2，3，随机变量Y的分布列：Y0123P因为E（X）E（Y），所以，即，所以，所以P（A）P（B）21【解析】（1）取BD中点O，连结OA，OC，因为，O为BD中点，所以，又因为平面平面BCD，平面平面BCDBD，平面BCD，所以平面ABD，又因为平面ABD，所以，因为，OC，平面OAC，所以平面OAC，又因为平面OAC，所以中，O为BD中点，BD2，所以OC2中，O为BD中点，BD2，所以OA1以OB，OC，OA为坐标轴，建立平面直角坐标系Oxyz，则，所以，所以，所以直线BD与AE所成角的余弦值为（2）设OAa，则，则，设平面FDE法向量为，则，所以，取x2，y3，z0，得到平面FDE的一个法向量，又因为平面DEC的一个法向量为，所以，可得平面平面DEC，所以二面角FDEC的大小为22【解析】（1），1aa1，a1检验a1时两个函数切线方程都是y1（2）方法一：，x0，令，则，在递增，因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，从而在递减，递增不妨设，则，当时，当，则，在递减，令，令，令，在递减，因为，在递减，所以在递减，所以，即，即，因为，在递减，所以，所以综上可得，
