1、高考原生态满分练2三角函数与解三角形典例(本题满分12分)(2020全国卷,17)在ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求角A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.学生解答教师批阅分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).分析2:第(1)问求得cos A=-12后,不说明A(0,),直接得出A=23.分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值
2、时,不说明等号成立的条件.分析4:方法一中,在得到AC+AB23后直接下结论ABC周长的最大值为3+23,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.满分答题高考原生态满分练2三角函数与解三角形解 (1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=ACAB,2分由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA,cosA=AC2+AB2-BC22ACAB=-12,3分A(0,),A=23.4分(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA=AC2+AB2+ACAB=9,即(AC+AB)2-
3、ACAB=9.6分ACABAC+AB22(当且仅当AC=AB时取等号),7分9=(AC+AB)2-ACAB(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC+AB)2,9分0AC+AB23(当且仅当AC=AB时取等号).11分ABC的周长L=AC+AB+BC3+23.故ABC周长的最大值为3+23.12分(方法二)由正弦定理及(1)得ABsinC=ACsinB=BCsinA=3sin23=23,AB=23sinC,AC=23sinB,6分从而AB+AC+BC=23sinC+23sinB+3=23sin3-B+23sinB+3=23sinB+3+3.9分0B3,3B+323,10分因此当B+3=2,即B=6时,AB+AC+BC取最大值3+23,故ABC周长的最大值为3+23.12分
