1、专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.(2021江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BDDC,PCD为正三角形,平面PCD平面ABCD,E为PC的中点.求证:(1)AP平面EBD;(2)BEPC.2.(2021江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=6,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面分别与侧棱PB,PD交于点M,N.(1)求证:MNBD;(2)若EF=2MN,求直线PA与平面所成角的正弦值.3.(2021湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为ABC所在平面内一点,且四边形
2、ABCD是菱形,ACBD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1平面A1B1C1.(1)求证:B1O平面ABCD;(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.4.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PBAM.(1)求BC;(2)求二面角A-PM-B的正弦值.5.(2021山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)若PA=1,求证:AE平面PCD;(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.6.(2021山东
3、日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,ACB=ACD=.(1)求证:ACBD.(2)有三个条件:=60;直线AC与平面BCD所成的角为45;二面角A-CD-B的余弦值为33.请你从中选择一个作为条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法1.证明 (1)连接AC交BD于点O,连接OE,因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.又E为PC的中点,所以APOE.又AP平面EBD,OE平面EBD,所以AP平面EBD.(2)因为PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PCDE.因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面A
4、BCD=CD,BD平面ABCD,BDCD,所以BD平面PCD.又PC平面PCD,所以PCBD.又BDDE=D,所以PC平面BDE.又BE平面BDE,所以BEPC.2.(1)证明 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,又EF平面PBD,BD平面PBD,所以EF平面PBD.又EF平面,平面平面PBD=MN,所以EFMN,所以MNBD.(2)解 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=12BD.又EF=2MN,所以BD=4MN.由(1)知MNBD,所以PM=14PB.如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,
5、1,0),P(0,0,2),所以AP=(-1,1,2),EF=(-1,-1,0),PB=(1,1,-2),EB=(0,1,0),所以MB=34PB=34,34,-32,所以EM=EB-MB=-34,14,32.设平面的法向量为n=(x,y,z),则nEF=0,nEM=0,即-x-y=0,-34x+14y+32z=0,令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面的一个法向量.设直线PA与平面所成的角为,则sin=|cos|=|APn|AP|n|=2622=3333,所以直线PA与平面所成角的正弦值为3333.3.(1)证明 如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意
6、可知B1MBD,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1MA1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OMA1C1.又OMB1M=M,所以A1C1平面B1MDO.又MD平面B1MDO,所以A1C1DM.又平面A1DC1平面A1B1C1,平面A1DC1平面A1B1C1=A1C1,DM平面A1DC1,所以DM平面A1B1C1.又平面ABCD平面A1B1C1,所以DM平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1ODM,所以B1O平面ABCD.(2)解 以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所
7、示,则C(1,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(-1,3,1),所以CD=(-1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD=(0,3,0).设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则mCD=0,mDC1=0,即-x+3y=0,x+z=0,令y=1,则x=3,z=-3,所以m=(3,1,-3)为平面CDC1的一个法向量.因为ODA1C1=0,ODDC1=0,所以OD=(0,3,0)为平面A1DC1的一个法向量.设二面角C-DC1-A1的大小为,则|cos|=|cos|=|mOD|m|OD|=373=77,所以sin=1-cos2=427.所以二面角
8、C-DC1-A1的正弦值为427.4.解 (1)连接BD.PD底面ABCD,AM底面ABCD,PDAM.PBAM,PBPD=P,AM平面PBD,AMBD,ADB+DAM=90.又DAM+MAB=90,ADB=MAB,RtDABRtABM,ADAB=BABM,12BC2=1,BC=2.(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(-2,0,1),AM=-22,1,0,BM=-22,0,0,BP=(-2,-1,1).设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则mAP=
9、0,mAM=0,即-2x1+z1=0,-22x1+y1=0,令x1=2,则y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则cos=mn|m|n|=372=31414.设二面角A-PM-B的平面角为,则sin=1-cos2=1-914=7014.5.(1)证明 PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.四边形ABCD为矩形,ADCD.又ADPA=A,CD平面PAD.又AE平面PAD,CDAE.PA=AD=1,E为PD的中点,AEPD.又PDCD=D,AE平面PCD.(2)解 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别
10、为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设AP=a(a0),则C(2,1,0),P(0,0,a),E0,12,a2,AC=(2,1,0),AE=0,12,a2,PC=(2,1,-a).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则ACn=0,AEn=0,即2x+y=0,12y+a2z=0,令y=-a,则x=a2,z=1,n=a2,-a,1为平面ACE的一个法向量.设直线PC与平面ACE所成的角为,则sin=|cos|=|nPC|n|PC|=a54a2+15+a2=229+20a2+5a227,当且仅当20a2=5a2,即a=2时,等号成立.当a=2时,直线PC与平面ACE所成的角最大,此
11、时三棱锥E-ABC的体积为13122122=26.6.(1)证明 如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OCBD.因为BC=DC,ACB=ACD=.AC=AC,所以ABCADC,所以AB=AD,所以OABD.又OAOC=O,所以BD平面AOC.又AC平面AOC,所以ACBD.(2)解 在直线AC上取点P,使得POC=90,连接PB,PD,由(1)知BD平面AOC,PO平面AOC,所以BDPO.又OCBD=O,所以PO平面BCD.由(1)知OCBD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为BCD=90,BC
12、=CD=1,所以OC=OB=OD=22.又PO平面BCD,所以PB=PC=PD.选,由=60,可知PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin=|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,
13、所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.选,由PO平面BCD,可知PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以PCO=45,所以OP=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin=|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,
14、所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.选,作PMCD,垂足为M,连接OM.由PO平面BCD,CD平面BCD,可知POCD.又POPM=P,所以CD平面POM,所以CDOM,所以PMO为二面角A-CD-B的平面角.所以cosPMO=33,所以tanPMO=2.因为OM=22221=12,所以OP=OMtanPMO=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin=|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.14
