1、专题过关检测二三角函数与解三角形一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021江西临川期中)已知角的终边经过点P(2,a),若=-3,则a=()A.6B.63C.-6D.-632.(2021北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为()A.x=-6B.x=-12C.x=12D.x=63.(2021北京西城区一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A.35B
2、.31C.6D.54.(2021山西吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|1”是“ABC为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2021安徽淮北一模)函数f(x)=2sinx+4+cos 2x的最大值为()A.1+2B.332C.22D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.sin Asin
3、 Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC的外接圆半径R为87710.(2021江苏苏州月考)已知函数f(x)=(sin x+3cos x)2,则()A.f(x)在区间0,6上单调递增B.f(x)的图象关于点-3,0对称C.f(x)的最小正周期为D.f(x)的值域为0,411.(2021辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin xcos 2x的说法正确的为()A.xR,f(-x)-f(x)=0B.T0,使得f(x+T)=f(x)C.f(x)在定义域内有偶数个零点D.xR,f(-x)-f(x)=012.(2021山东潍坊统考)在ABC中,内角
4、A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是()A.a,b,c依次成等差数列B.a,b,c依次成等差数列C.a2,b2,c2依次成等差数列D.a3,b3,c3依次成等差数列三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021安徽合肥期中)已知cos+54=-63,则sin 2=.14.(2021北京东城区一模)已知函数f(x)=Asin(2x+)A0,|0,0B,fA-B2-12=35,求cosA-B2,并证明sin A255.21.(12分)(2021福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的
5、某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(x+)+b(00,0)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为2.(1)当x-2,4时,求f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x-12,6时,求函数g(x)的值域;(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=43在区间6,43上的根从小到大依次
6、为x1,x2,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+2xn-1+xn的值.专题过关检测二三角函数与解三角形1.C解析 由题意,角的终边经过点P(2,a),可得|OP|=2+a2(O为坐标原点),又由=-3,根据三角函数的定义,可得cos-3=22+a2=12,且a0,0,|2的部分图象知,A=2,34T=113-23=3,所以T=4=2,所以=12.又f23=2sin1223+=2,可得1223+=2k+2,kZ,解得=2k+6,kZ.|1,所以sinAsinBcosAcosB1,因为0A,0B0,cosAcosB0,故A,B同为锐角,因为sinAsinBcosAcosB,所以cosA
7、cosB-sinAsinB0,即cos(A+B)0,所以2A+B,因此0C1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.8.B解析 因为f(x)=2sinx+4+cos2x,所以f(x)=2sinx+4+sin2x+4=2sinx+4+2sinx+4cosx+4.令=x+4,g()=2sin+2sincos=2sin+sin2,则g()=2cos+2cos2=2(2cos2-1)+2cos=4cos2+2cos-2,令g()=0,得cos=-1或cos=12,当-1cos12时,g()0;当12cos1时,g()0,所以当-53+2k,-3+2k(kZ)时,g()单调递减;当-3+2k,3
8、+2k(kZ)时,g()单调递增,所以当=3+2k(kZ)时,g()取得最大值,此时sin=32,所以f(x)max=232+23212=332.9.ACD解析 因为(a+b)(a+c)(b+c)=91011,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinAsinBsinC=abc=456,所以A中结论正确;由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,又cosC=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)224x5x=180,所以C为锐角,所以B中结论错误;由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cosA=
9、c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)226x5x=34,所以cos2A=2cos2A-1=18,所以cos2A=cosC.由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A(0,),C0,2,所以2A=C,所以C中结论正确;由正弦定理,得2R=csinC(R为ABC外接圆半径),又sinC=1-cos2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D中结论正确.10.ACD解析 f(x)=sinx+3cosx2=sin2x+3cos2x+23sinxcosx=2+cos2x+3sin2x=2sin2x+6+2;对于A选项:x0,6,2x+66,2,f(x)=2sin2x+6+2在
10、区间0,6上单调递增,故A正确;对于B选项:f-3=2sin2-3+6+2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知-3是f(x)的一个极小值点,故B错误;对于C选项:由f(x)=2sin2x+6+2可知,函数的最小正周期T=22=,故C正确;对于D选项,sin2x+6-1,1,f(x)=2sin2x+6+20,4,故D正确.11.BD解析 对于A,当x=3时,f-3-f3=sin-3cos23-sin3cos23=-32-12-32-12=320,故A错误.对于B,因为f(x+2)=sin(2+x)cos2(x+2)=sinxcos2x,所以T=20,使得f(x+T)=f(x),故B正确.对于C
11、,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.对于D,f(-x)-f(x)=sin(-x)cos2(-x)-sinxcos2x=sinxcos2x-sinxcos2x=0,故D正确.12.ABD解析 因为1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,所以2tanB=1tanA+1tanC,整理得2cosBsinB=cosCsinC+cosAsinA,所以2a2+c2-b22abc=a2+b2-c22abc+b2+c2-a22abc,整理得2b2=a2+c2,
12、即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或a,b,c或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说ABC是等边三角形.13.-13解析 由cos+54=-63可得cos+4=63,所以22(cos-sin)=63,即cos-sin=233,两边平方可得1-sin2=43,故sin2=-13.14.4解析 由题意可得f(0)=-23,f4=2,即Asin=-23,Asin2+=2,所以Asin=-23,Acos=2,所以tan=-3,又因为|2,所以=-3,所以A=-23-32=4.15.14 4003解析 连接AC交EF于点O(图略),由AEF=CFE=60,得AE
13、FC,所以AEO与CFO相似,所以OEOF=AECF=53,所以EO=503cm,FO=303cm,在AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AEEOcosAEO=(1003)2+(503)2-21003503cos60=22500,所以AO=150cm,同理CO=90cm,所以AC=240cm,从而BC=AC2-AB2=1203cm,所以矩形ABCD的面积为144003cm2.16.(10 0005+25 000)解析 在OAB中,AOB=,OB=100m,OA=200m,AB2=OB2+OA2-2OBOAcosAOB,即AB=1005-4cos,S四边形OACB=SOAB+SAB
14、C=12OAOBsin+12AB2,于是S四边形OACB=1002sin-2cos+52=10025sin(-)+52(其中tan=2),所以当sin(-)=1时,S四边形OACB取最大值100005+52=100005+25000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(100005+25000)m2.17.解 (1)f(x)=2cosxsinx+3-32(1-cos2x)+12sin2x=2cosx12sinx+32cosx-32+32cos2x+12sin2x=12sin2x+32(2cos2x-1)+32cos2x+12sin2x=sin2x+3cos2x=2sin2x+3,令2k-22
15、x+32+2k,kZ,解得k-512xk+12,kZ,因此,函数f(x)的单调递增区间为k-512,k+12,kZ.(2)x-4,6,-62x+323,-12sin2x+31,-1f(x)2,因此当x-4,6时,y=f(x)的值域为(-1,2.18.解 (1)因为2a-b=2ccosB,由正弦定理得2sinA-sinB=2sinCcosB,因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入上式得,2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2sinCcosB,即2sinBcosC-sinB=0,即sinB(2cosC-1)=0.因为B(0,),所以sinB0,所以2
16、cosC=1,即cosC=12,又0C,所以C=3.(2)依题意,在CBD中,CB=2,CD=12b,BD=3,C=3,利用余弦定理的推论可得,cosC=cos3=12=4+12b2-32212b,即b2-4b+4=0,解得b=2.在ABC中,b=a=2,C=3,故ABC是等边三角形,故c=2.19.解 若选择:在ABC中,有A+B+C=,则由题意可得cos-(A+B)+(cosA-3sinA)cosB=0,即-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-3sinAcosB=0,sinAsinB=3sinAcosB,又sin
17、A0,所以sinB=3cosB,则tanB=3.又B(0,),所以B=3.因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,因为a(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.若选择:在ABC中,有A+B+C=,则由题意可得2cos2B-1-3cos(-B)=2cos2B+3cosB-1=1,解得cosB=12或cosB=-2(舍去),又B(0,),所以B=3.因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-
18、2accosB=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,因为a(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.若选择:由正弦定理可将已知条件转化为sinBcosC+33sinCsinB=sinA,又sinA=sin-(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以33sinCsinB=sinCcosB,又sinC0,所以sinB=3cosB,所以tanB=3.又B(0,),所以B=3.因为a+c=1,所以c=1-a,a(0,1).所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-a
19、c=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,因为a(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.20.解 (1)由f(0)=12,得sin=12,又00,结合题中函数f(x)的图象可知122512,所以0125,所以有025(6k-1)125,即16k76,又kZ,所以k=1,从而=25(61-1)=2,因此,f(x)=sin2x+6.(2)由fA-B2-12=35,得sin(A-B)=35,又由题意可知0A-B2,所以A=A+B2+A-B24+A-B2,又因为函数y=sinx在区间0,2上单调递增,A0,2,4+A-
20、B20,2,所以sinAsin4+A-B2=22310+110=255.21.解 (1)点C,D关于直线l对称,点C坐标为(234-44,16),即(24,16).把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,得22=asin+b,19=asin6+b,16=asin3+b,-,得asin6+-sin=-3,-,得asin3+-sin=-6,2sin6+-2sin=sin3+-sin,cos+3sin=32cos+32sin,1-32cos=32-3sin=332-1sin,tan=-33.0,=56,代入,得b=19.将=56,b=19代入得,a=6.于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin72
21、x+56+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin72(68-x)+56+19.设点F的坐标为(xF,yF),则由72(68-xF)+56=2,解得xF=92.因此可知,当x=92时,股价见顶.(2)由(1)可知,yF=6sin72(68-92)+56+19=6sin2+19=25,故这次操作老张能赚3000(25-16)=27000(元).22.解 (1)由题意,函数f(x)=3sin(x+)+2sin2x+2-1=3sin(x+)-cos(x+)=2sinx+-6,因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为2,所以T=,可得=2.又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定
22、义,可得f(0)=2sin-6=0,所以-6=k,kZ,因为0,所以=6,因此f(x)=2sin2x.令2+2k2x32+2k,kZ,解得4+kx34+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间为4+k,34+k,kZ,又因为x-2,4,故函数f(x)的单调递减区间为-2,-4.(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度,可得y=2sin2x-3的图象,再把横坐标缩小为原来的12,得到函数y=g(x)=2sin4x-3的图象,当x-12,6时,4x-3-23,3,当4x-3=-2时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-3=3时,函数g(x)取得最大值,且最大值为3,故函数g(x)的值
23、域为-2,3.(3)由方程g(x)=43,即2sin4x-3=43,即sin4x-3=23.(*)因为x6,43,可得4x-33,5,设=4x-3,其中3,5,则方程(*)可转化为sin=23,结合正弦函数y=sin的图象,如图,可得方程sin=23在区间3,5上有5个解,设这5个解分别为1,2,3,4,5,所以n=5,其中1+2=3,2+3=5,3+4=7,4+5=9,即4x1-3+4x2-3=3,4x2-3+4x3-3=5,4x3-3+4x4-3=7,4x4-3+4x5-3=9,解得x1+x2=1112,x2+x3=1712,x3+x4=2312,x4+x5=2912,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=203.
