1、考点规范练65坐标系与参数方程基础巩固1.在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解:(1)因为M(0,0)在C上,当0=3时,0=4sin3=23.由已知得|OP|=|OA|cos3=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中,cos-3=|OP|=2.经检验,点P2,3在曲线cos-3=2上.所以,l的极坐标方程为cos-3=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos=4cos,即=
2、4cos.因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos,4,2.2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数,R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:sin-4=2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.解:(1)由x=cos,y=1+sinx=cos,y-1=sinx2+(y-1)2=1,即C1:x2+(y-1)2=1.由sin-4=222sin-22cos=2y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)直
3、线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,圆心到直线的距离d=|0-1+2|12+(-1)2=22,|AB|=212-222=2.3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.解:(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的
4、圆.(2)当k=4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t得C1的直角坐标方程为x+y=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由x+y=1,4x-16y+3=0解得x=14,y=14.故C1与C2的公共点的直角坐标为14,14.4.(2021全国,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为曲线C上的动点,点P满足AP=2AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断曲线C与轨迹C1是否有公共点.解:(1)由已知得2=22cos
5、,则曲线C的直角坐标方程为x2+y2=22x,即(x-2)2+y2=2.(2)设点P(x,y),M(x0,y0),由AP=2AM,得(x-1,y)=2(x0-1,y0),即x0=22x+1-22,y0=22y.又点M在曲线C上,所以22x+1-3222+22y2=2,即(x+2-3)2+y2=4.所以轨迹C1是以(3-2,0)为圆心,2为半径的圆,所以轨迹C1的参数方程为x=3-2+2cos,y=2sin(为参数).两圆的圆心分别为(2,0),(3-2,0),半径分别为2和2,两圆心的距离是3-22,半径之差为2-2,显然3-22r(r为C的半径),不合题意,舍去.当直线斜率存在时,设直线方程
6、为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,此时圆心C(2,1)到直线的距离d=|2k-1-4k+1|k2+1=|2k|k2+1,由d=r=1,得2|k|=k2+1,两边平方得4k2=k2+1,解得k=33.代入直线方程并化简得x-3y+3-4=0或x+3y-3-4=0,化为极坐标方程为cos-3sin=4-3或cos+3sin=4+3.能力提升6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为sin-4=22m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2
7、的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.解:(1)曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2,消去参数,可得y=x2(-2x2),由sin-4=22m,得22sin-22cos=22m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)由y=x2,x-y+m=0,可得x2-x-m=0,曲线C1与曲线C2有公共点,m=x2-x=x-122-14.-2x2,-14m6.7.如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线
8、M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos04,M2的极坐标方程为=2sin434,M3的极坐标方程为=-2cos34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos=3,解得=6;若434,则2sin=3,解得=3或=23;若34,则-2cos=3,解得=56.综上,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.高考预测8.在平面直角坐标系
9、中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin2=acos (a0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|PB|=|AB|2,求a的值.解:(1)sin2=acos(a0),2sin2=acos(a0),即y2=ax(a0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a0)中,得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2(a+8),t1t2=4(a+8).|PA|PB|=|AB|2,t1t2=(t1-t2)2.(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即2(8+a)2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),a的值为2.
