1、考点规范练23三角恒等变换基础巩固1.2sin47-3sin17cos17=()A.-3B.-1C.3D.1答案:D解析:原式=2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin30=1.故选D.2.已知2sin 2=1+cos 2,则tan 2=()A.43B.-43C.43或0D.-43或0答案:C解析:因为2sin2=1+cos2,所以2sin2=2cos2.所以2cos(2sin-cos)=0,解得cos=0或tan=12.若cos=0,则=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan2=0.若tan=12,则tan2=2tan
2、1-tan2=43.综上所述,故选C.3.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.,0,B.2,-4,34C.,-8,38D.2,-4,4答案:C解析:由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-4,则T=22=.又2k-22x-42k+2(kZ),k-8xk+38(kZ)为函数的单调递增区间.故选C.4.已知5sin 2=6cos ,0,2,则tan 2=()A.-23B.13C.35D.23答案:B解析:由题意,知10sincos=6
3、cos,又0,2,sin=35,cos=45,tan2=sin2cos2=2sin222sin2cos2=1-cossin=1-4535=13.5.(2021全国,理9)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.153答案:A解析:由题意可知sin2cos2=cos2-sin,即2sincos1-2sin2=cos2-sin,因为0,2,所以cos0,所以2sin1-2sin2=12-sin,解得sin=14,则cos=1-142=154,所以tan=1515.6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin
4、 2x的图象()A.向右平移4个单位长度B.向左平移4个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向左平移2个单位长度答案:A解析:y=sin2x+cos2x=222sin2x+22cos2x=2cos2x-8,y=cos2x-sin2x=222cos2x-22sin2x=2cos2x+8=2cos2x+4-8,只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移4个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象.7.已知函数f(x)=cos4x-3+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移6个单位,得到函数y=g(x)的图象,则
5、函数y=g(x)的一个单调递增区间为()A.-3,6B.-4,4C.6,23D.4,34答案:B解析:函数f(x)=cos4x-3+2cos22x=cos4x-3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4x+32sin4x+1=3sin4x+3+1,函数y=f(x)的图象伸缩后的图象对应的解析式为y=3sin2x+3+1,再平移后得y=g(x)=3sin2x+1.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ,当k=0时,得-4x4,故选B.8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=.答案:21解析:因为2cos2x
6、+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+4+1,所以A=2,b=1.9.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.答案:3解析:f(x)=1+2cos2x-12cosx+sinx+a2sinx+4=cosx+sinx+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.10.已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,)内的单调递减区间.解:(1)函数f(x)
7、=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.f(x)的图象过点4,1,1=asin2+cos2,可得a=1.f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+4.函数的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调递减区间为8,58.11.函数f(x)=cos-x2+sin-x2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f()=2105,0,2,求tan+4的值.解:(1)f(x)=cos-x2+sin-x2=sinx2+cosx2=2sinx2
8、+4,故f(x)的最小正周期T=212=4.(2)由f()=2105,得sin2+cos2=2105,则sin2+cos22=21052,即1+sin=85,解得sin=35,又0,2,则cos=1-sin2=1-925=45,故tan=sincos=34,所以tan+4=tan+tan41-tantan4=34+11-34=7.能力提升12.已知函数f(x)=cos x(sin x+3cos x)(0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则的最小值为()A.12016B.14032C.12016D.14032答案:C解析:由题意可得,f(x
9、0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016)是函数f(x)的最大值.又f(x)=cosx(sinx+3cosx)=12sin2x+31+cos2x2=sin2x+3+32,所以要使取最小值,只需保证区间x0,x0+2016为一个完整的单调递增区间即可.故2016=122min,求得min=12016,故的最小值为12016,故选C.13.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,则cos(-)的值等于()A.-12B.12C.-13D.2327答案:D解析:0,2,2(0,).cos=13,cos2=2cos2-1=-79,sin2=1-cos22=429,又,0,2,+(0,
10、),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos2-(+)=cos2cos(+)+sin2sin(+)=-79-13+429223=2327.14.已知函数f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.答案:k-3,k+6(kZ)解析:f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1=sin2x+512-cos2x+512=2sin2x+512cos4-cos2x+512sin4=2sin2x+512-4=2sin2x+6.f(x)的最小正周期T=22=.因此f(x)=2s
11、in2x+6.当2k-22x+62k+2(kZ),即k-3xk+6(kZ)时,函数f(x)的单调递增区间是k-3,k+6(kZ).15.已知函数f(x)=3sin xcos x+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-20,f()=56,求sin 2的值.解:(1)函数f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+1+cos2x2=sin2x+6+12,函数f(x)的最小正周期为22=.(2)若-20,则2+6-56,6.f()=sin2+6+12=56,sin2+6=13,2+60,6,cos2+6=1-sin22+6=223,sin2=sin2+6-6=sin2
12、+6cos6-cos2+6sin6=1332-22312=3-226.高考预测16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+4sinx-4.(1)若tan =2,求f()的值;(2)若x12,2,求f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+4cosx+4=1-cos2x2+12sin2x+sin2x+2=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tan=2,得sin2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35.所以f()=12(sin2+cos2)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=22sin2x+4+12.由x12,2,得2x+4512,54.所以-22sin2x+41,所以0f(x)2+12,所以f(x)的取值范围是0,2+12.8
