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2020-2021学年新教材高中数学 第十一章 立体几何初步单元综合测试(含解析)新人教B版必修第四册.doc

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1、单元综合测试三(第十一章)时间:120分钟分值:150分第卷(选择题,共60分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1垂直于同一条直线的两条直线一定(D)A平行 B相交C异面 D以上都有可能解析:两条直线同时垂直于同一条直线,这两条直线可能平行、相交、异面2如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为A1B1的中点,ABBC2BB12,AC2,则异面直线BD与AC所成的角为(C)A30 B45C60 D90解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则ACA1C1DE,则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDE

2、EB,所以BDE60.3下列说法正确的是(D)过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内A BC D解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以不对;若,a,则a或a,所以不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以也不对4如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A

3、直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析:BC1AC,BAAC,BABC1B,AC平面ABC1,因此平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上5已知PA矩形ABCD,则下列结论中不正确的是(C)APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析:如图所示,由于PA平面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以PABD(即D正确),BCPA,BCBA,而PAABA,所以BC平面PAB,所以BCPB(即A正确)同理PDCD(即B正确),PD与BD不垂直,所以C不正确6三个球的半径之比为123,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(C)A1倍 B2倍C.倍 D.倍解

4、析:设最小球的半径为r,则另两个球的半径分别为2r,3r,则各球的表面积分别为4r2,16r2,36r2,所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比值为.7如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有(B)A3个 B4个C5个 D6个解析:本题考查正方体中长度的运算问题不妨设P是靠近B的一个三等分点,正方体棱长a,则P到B、D1距离分别为a,a,由对称性知,P到A,C,B1的距离都为a,而P到A1,D,C1的距离都是a,故选B.本题对学生的空间想象能力提出了较高要求8若一个n面体中有m个面是直角三角形,则称这个n面体的直度为.如图,在长

5、方体ABCDA1B1C1D1中,四面体A1ABC的直度为(D)A.B.C.D1解析:由已知n4,A1A平面ABC,A1AAC,A1AAB.又BC平面A1AB,BCAB,BCA1B,m4.故直度1.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9以下命题中假命题的序号是(BCD)A若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱B有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台C用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台D有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱解析:对于A,若

6、棱柱被与底面不平行的平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱,所以A正确;对于B,有两个面平行,其余各面都是梯形,并且侧棱的延长线交于同一点的几何体叫棱台,所以B错误;对于C,当截面与底面不平行时,截得的底面和截面之间的几何体不是圆台,所以C错误;对于D,根据棱柱定义可知,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,所以D错误故选BCD.10已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确命题的是(BD)A若m,n,m,n,则B若,m,n,则mnC若m,n,那么mnD若m,m,n,那么mn解析:A选项中没有说明两条直线是否

7、相交,结论错误,B选项中能推出m,所以结论正确,C选项能推出mn,推不出mn,结论错误,D选项根据线面平行的性质可知正确11如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有(ABD)APD平面OMNB平面PCD平面OMNC直线PD与直线MN所成角的大小为90DONPB解析:选项A,连接BD,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PDON,由线面平行的判定定理可得,PD平面OMN;选项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,得MNAB,又底面为正方形,所以MNCD,由线面平行的判定定理可得,CD平面OMN,又选项A得PD平面O

8、MN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD平面OMN;选项C,因为MNCD,所以PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以PDC60,故直线PD与直线MN所成角的大小为60;选项D,因底面为正方形,所以AB2AD2BD2,又所有棱长都相等,所以PB2PD2BD2,故PBPD,又PDON,所以ONPB,故选ABD.12如图,矩形ABCD,M为BC的中点,将ABM沿直线AM翻折成AB1M,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是(BD)A存在某个位置,使得CNAB1B翻折过程中,CN的长是定值C若ABBM,则AMB1DD若ABBM1,当三棱锥B1AM

9、D的体积最大时,三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4解析:对于A,取AD的中点为E,连接CE交MD于点F,如图1.则NEAB1,NFMB1,如果CNAB1,则ENCN,由于AB1MB1,则ENNF,由于三线NE,NF,NC共面且共点,故这是不可能的,故不正确;对于B,如图1,由NECMAB1,且NEAB1,AMEC,在CEN中,由余弦定理得:NC2NE2EC22NEECcosNEC,也是定值,故NC是定值,故正确;对于C,如图2,ABBM,即AB1B1M,则AMB1O,若AMB1D,由于B1OB1DB1,且B1O,B1D平面ODB1,AM平面ODB1,OD平面ODB1,ODAM,则ADMD,由

10、于ADMD,故AMB1D不成立,故不正确;对于D,根据题意知,只有当平面B1AM平面AMD时,三棱锥B1AMD的体积最大,取AD的中点为E,连接OE,B1E,ME,如图2.ABBM1,则AB1B1M1.且AB1B1M,平面B1AM平面AMDAM.B1OAM,又B1O平面B1AM.B1O平面AMD,OE平面AMD,B1OOE,则AM,B1OAM.OEDMAM.从而EB11,易知EAEDEM1,AD的中点E就是三棱锥B1AMD的外接球的球心,球的半径为1,表面积是4,故D正确第卷(非选择题,共90分)13已知在ABC中,BAC90,P为平面ABC外一点,且PAPBPC,则平面PBC与平面ABC的位

11、置关系是垂直解析:PAPBPC,P在ABC所在平面上的射影必落在ABC的外心上,又外心在BC上,设为O,则PO平面ABC.又PO平面PBC,平面PBC平面ABC.14已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.解析:由题意知V球R3,R.设正方体的棱长为a,则2R,a,所以正方体的棱长为.15已知正方体ABCDA1B1C1D1的各棱长为1 m,圆锥SO的底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆,顶点S是正方形ABCD的中心,则圆锥SO的体积为m3,侧面积为m2.解析:圆锥的高为1,底面半径为,母线长为 ,所以体积为()21.侧面积为.16如图所示,已知在矩形ABCD中,

12、AB3,BCa,若PA平面AC,在BC边上取点E,使PEDE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是(6,)解析:由题意知:PADE,又PEDE,PAPEP,DE平面PAE,又AE平面PAE,DEAE.易证ABEECD.设BEx,则,即.x2ax90,由0,a0.解得a6.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)如图,棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AC9,BC12,AB15,AA112,点D是AB的中点(1)求证:ACB1C;(2)求证:AC1平面CDB1.证明:(1)C1C平面ABC,C1CAC.AC9,BC12,AB15,AC2

13、BC2AB2,ACBC.又BCC1CC,AC平面BCC1B1,而B1C平面BCC1B1,ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图,O,D分别为BC1,AB的中点,ODAC1.又OD平面CDB1,AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.18(12分)(1)如图(1),在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是PB,PC的中点证明EF平面PAD;(2)如图(2),已知四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,求证:平面MNQ平面PBC.证明:(1)E,F分别是PB,PC的中点,EFBC.底面ABCD是矩形,ADBC,EFA

14、D,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.(2)点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,MQAD,QNPB,底面ABCD是平行四边形,ADBC,MQBC,MQQNQ,PBBCB,MQ,QN平面MNQ,PB,BC平面PBC,平面MNQ平面PBC.19(12分)如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,CD1,AD2,BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)证明:CD平面ABF.解:(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FAED,故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD,所以FACD,故EDCD,在

15、RtCDE中,因为CD1,ED2,所以CE3,所以cosCED.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.(2)证明:如图,过点B作BGCD交AD于点G,则BGACDA45,由BAD45可得BGAB,从而CDAB.又因为CDFA,FAABA,FA,AB平面ABF,所以CD平面ABF.20(12分)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BCA90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1)求证:BC平面PAC;(2)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角?并说明理由解:(1)证明:PA底面ABC,BC底面ABC,PABC,又BCA90,ACBC,又ACPAA,AC,PA平面PAC,BC平

16、面PAC.(2)存在点E使得二面角ADEP为直二面角理由:DEBC,又由(1)知,BC平面PAC,DE平面PAC,又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE,AEP为二面角ADEP的平面角,PA底面ABC,PAAC,PAC90,在棱PC上存在一点E,使得AEPC. 这时AEP90,故存在点E,使得二面角ADEP为直二面角21(12分)如图所示,在正三棱柱(底面是正三角形,侧棱和底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中,ABAA1,D是BC上的一点,且ADC1D.(1)求证:A1B平面AC1D;(2)在棱CC1上是否存在一点P,使直线PB1平面AC1D?若存在,找出这个点,并加以证明;若

17、不存在,请说明理由解:(1)证明:ABCA1B1C1是正三棱柱,CC1平面ABC,又AD平面ABC,CC1AD.又ADC1D,CC1C1DC1,AD平面BCC1B1,ADBC,D是BC的中点如图,连接A1C,与AC1相交于点E,则点E为A1C的中点连接DE,则在A1BC中,D、E分别是BC、A1C的中点,A1BDE.又DE平面AC1D,A1B平面AC1D,A1B平面AC1D.(2)存在这样的点P,且点P为CC1的中点下面给出证明:由(1)知AD平面BCC1B1,故B1PAD.设PB1与C1D相交于点Q,如图,由于DC1CPB1C1,故QB1C1CC1D,因为QC1B1CDC1,从而QC1B1C

18、DC1,所以C1QB1DCC190,所以B1PC1D.因为ADC1DD,所以B1P平面AC1D.22(12分)如图所示,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD是矩形,ABEF,AB2EF,EAB90,平面ABFE平面ABCD.(1)若G点是DC的中点,求证:FG平面AED;(2)求证:平面DAF平面BAF;(3)若AEAD1,AB2,求三棱锥DAFC的体积解:(1)证明:点G是DC的中点,ABCD2EF,ABEF,四边形ABCD是矩形,EFDG且EFDG,四边形DEFG是平行四边形FGDE,又FG平面AED,ED平面AED,FG平面AED.(2)证明:平面ABFE平面ABCD,平面ABFE平面ABCDAB,ADAB,AD平面ABCD,AD平面BAF.又AD平面DAF,平面DAF平面BAF.(3)平面ABFE平面ABCD,平面ABFE平面ABCDAB,EAB90,EA平面ABFE,EA平面ABCD.EFAB,EF平面ABCD,AB平面ABCD,EF平面ABCD,F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA,V三棱锥DAFCV三棱锥FADCSADCEA121.

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