1、单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列an的公差是()A.14B.4C.-4D.-3答案:B解析:数列an是等差数列,a6=15,S9=99,a1+a9=22,2a5=22,a5=11.公差d=a6-a5=4.2.已知公比为32的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.7答案:B解析:由等比中项的性质,得a3a11=a72=16.因为数列an各项都是正数,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2
2、a16=5.3.在等差数列an中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列an的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或25答案:A解析:设an的公差为d.在等差数列an中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,S5=5a1+542d=5(-1)+54=15.故选A.4.已知等差数列an和等比数列bn满足3a1-a82+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.36答案:D解析:由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=3
3、2a8,即a82-6a8=0.因为a8=b100,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b102=36.5.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.12D.23答案:B解析:S2=3a2+2,S4=3a4+2,S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1-x).若数列an满足a1=12,且an+1=11-an,则f(a11)=()A.2B.-2C.
4、6D.-6答案:C解析:设x0,则-x0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x(1+x)=x(1+x).由a1=12,且an+1=11-an,得a2=11-a1=11-12=2,a3=11-a2=11-2=-1,a4=11-a3=11-(-1)=12,所以数列an是以3为周期的周期数列,即a11=a33+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2(1+2)=6.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知数列an满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=.答案:111解析:由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1a
5、n=2,即数列1an是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a6=1a1+52=11,即a6=111.8.已知等比数列an满足a2+8a5=0,设Sn是数列1an的前n项和,则S5S2=.答案:-11解析:设an的公比为q.由a2+8a5=0,得a1q+8a1q4=0,解得q=-12.易知1an是等比数列,公比为-2,首项为1a1,所以S2=1a11-(-2)21-(-2)=-1a1,S5=1a11-(-2)51-(-2)=11a1,所以S5S2=-11.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在数列an和bn中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列c
6、n满足cn=bn-an.(1)求数列an和cn的通项公式;(2)若b6=am,求m的值.解:(1)因为an+1=an+2,且a1=1,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=1+(n-1)2=2n-1.因为b1=3,b2=7,且a1=1,a2=3,所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4.因为数列cn是等比数列,所以数列cn的公比q=c2c1=2,所以cn=c1qn-1=22n-1=2n.(2)由(1)得bn-an=2n,an=2n-1,所以bn=2n+2n-1.所以b6=26+26-1=75.令2m-1=75,解得m=38.10.(15分)已知数列an的首项为a1=1,其
7、前n项和为Sn,且数列Snn是公差为2的等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=(-1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)数列Snn是公差为2的等差数列,且S11=a1=1,Snn=1+(n-1)2=2n-1.Sn=2n2-n.当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2-(n-1)=4n-3.a1符合an=4n-3,an=4n-3.(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3).当n为偶数时,Tn=(-1+5)+(-9+13)+-(4n-7)+(4n-3)=4n2=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,Tn=Tn+1-bn+1=2(n+1)-(
8、4n+1)=-2n+1.综上所述,Tn=2n,n=2k,kN*,-2n+1,n=2k-1,kN*.11.(15分)(2020全国,理17)设数列an满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前n项和Sn.解:(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3an-(2n+1),an-(2n+1)=3an-1-(2n-1),a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=32+522+723+(2n+1)2n.从而2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
