1、基本不等式与不等式的综合应用 专题检测 1.(2020 山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是()A.lg()lgx(x0)B.sinx+2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1(xR)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于 A,由于x2+2 =x,当且仅当 x=时,取“=”,故 A 不正确;对于 B,当 x(,)时,sinx0,y0,x+2y=1,则 的最大值为()A.B.C.D.答案 C =,x0,y0,x+2y=,+=()1=()(x+2y)=5+5+2 =5+4=9,当且仅当 ,即 x=y=时,取“=”,故 的最大值为 ,选
2、C.3.(2020 山东青岛期初调研,8)函数 f(x)=x2+x+(x0)的最小值为()A.4+2 B.4 C.8 D.+2 答案 A x0,f(x)=x2+x+=x2+x+2 +2 =4+2,当且仅当 ,即 x=时取“=”,f(x)min=4+2,故选 A.4.(2018 福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数 a0,b0,+=1,则 a+2b 的最小值是()A.3 B.2 C.3 D.2 答案 B a0,b0,a+11,b+11,又 +=,a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)()-3=1+()+2-32()=2,当且仅当()=时取“=”,故选 B.5.(201
3、8 河北大名一中月考)已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a20(a0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是()A.B.C.D.-答案 D 由题意知 x1,x2是方程 x2-4ax+3a2=0 的两根.由根与系数的关系得 x1x2=3a2,x1+x2=4a,x1+x2+=4a+,a0,b0,p=f(),q=f(),r=f(ab),则()A.qrp B.qpr C.rpq D.rqp 答案 D 因为 -()=-=(-)0,所以 (),又 (a0,b0),所以()ab.易得函数 f(x)=x2ex在(0,+)上单调递增,所以 f(ab)f()f(),即 rqp.7.(2020 河南
4、濮阳第二次检测,9)已知 a2,b2,则 -+-的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.16 答案 D 因为 a2,b2,所以 a-20,b-20.令 x=b-2,y=a-2,则 x0,y0.原式=()+()2()()=2 ()2()=2()=2()2()=16.当且仅当 x=y=2 时取等号.故选 D.思路分析 利用换元思想,设 x=b-2,y=a-2,则 x0,y0,将原式化为()+(),两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为 a,第(n-2)个为 b,当 +取最小值时,n
5、的值为()A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D 由已知得 a+b=18,则 +=()=()(+0)=,当且仅当 b=5a 时取等号,此时 a=3,b=15,可得 n=9.故选 D.9.(2019 辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数 f(x)=-+x+sinx,若正实数 a,b 满足f(4a)+f(b-9)=0,则 +的最小值是()A.1 B.C.9 D.18 答案 A 因为 f(x)=-+x+sinx,所以 f(-x)=-x-sinx=-(-)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,易知 f(x)单调递增,又正实数 a,b 满足 f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所
6、以 +=()(4a+b)=4+1=()(+)=1,当且仅当 =,即 b=2a=3 时,取等号.故选 A.10.(2020 黑龙江道里检测,10)设 a,b,c,d 均为大于零的实数,且 abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则 a2+b2+m 的最小值为()A.8 B.4+2 C.5+2 D.4 答案 B a,b,c,d 均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd2ab+2 2 +ab+cd=4+3ab+cd4+2 =4+2,当且仅当 a=b,c=d,3ab=cd,即 a=b=(),c=d=
7、时取等号,a2+b2+m 的最小值为 4+2.故选 B.11.(多选题)(2020 山东烟台期中,11)下列结论正确的是()A.若 ab0,cd B.若 xy0,且 xy=1,则 x+log2(x+y)C.设an是等差数列,若 a2a10,则 a2 D.若 x 0,+),则 ln(1+x)x-x2 答案 AC 对于 A,cd-d0,-0,又ab0,-0,故 A 正确;对于 B,xy0,且 xy=,可取 x=2,y=,此时 x+=4,=,log2(x+y)=log2 log22=1,故不满足 x+log2(x+y),故 B 不正确;对于 C,an是等差数列,a2=.又a3-a2=a2-a10,a
8、3a2a10,即 a2 ,故 C 正确;对于 D,令 f(x)=ln(1+x)-x+x2,x0,则f(x)=-1+x=-()()=-=-(),x0,令f(x)0,可得x3,令f(x)0,可得0 x3,因此函数 f(x)=ln(1+x)-x+x2在0,3)上为减函数,在 ,+)上为增函数,f(0)=ln1-0+0=0,当 x(0,3时,f(x)a 可得 x-a0,则 x-a+-2(-)-=4,当且仅当 x-a=2,即 x=a+2时,上式取得最小值 4,则 5-a4,可得 a1,故 a 的最小值为 1.13.(2020 上海复旦大学附中 9 月综合练,8)已知 -+1 对于任意的 x(,+)恒成立
9、,则 a 的取值范围是 .答案-3,1 解析 由已知 -+1 对于任意的 x(,+)恒成立可知,a2+2a+2 -+x 对于任意的 x(,+)恒成立,令 g(x)=-+x,x1,则 g(x)=-+x-1+12 -(-)+1=5,当且仅当 x=3 时取“=”,a2+2a+2g(x)min=,a2+2a-30,-3a1,故答案为-3,1.14.(2019 安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sinx-3 对任意 xR 恒成立,则实数 a的取值范围是 .答案-,解析 令 g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1t1,则原函数化为 g(t)=(-at2+a-3)t,即g(t)=-at3+(a-3)t,由-at3+(a-3)t-3 整理得(t-1)-at(t+1)-30,由 t-10知,-at(t+1)-30,即 a(t2+t)-3,当 t=0,-1 时该不等式恒成立,当 0t1 时,0t2+t2,a(-)=-;当-1t0 时,-t2+t0,a(-)=12,从而可知-a12.
