1、第二节函数的性质考纲要求1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会利用函数的图象理解和研究函数的单调性3结合具体函数,了解函数奇偶性的含义4会利用函数的图象理解和研究函数的奇偶性5了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性第1课时系统知识函数的单调性与最值、奇偶性、周期性函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升
2、的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数yf(x)的单调区间点拨(1)函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2D”,“任意”两字决不能丢;二是有大小,即x1x2);三是同属一个单调区间,三者缺一不可(2)若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量x1,x2的值,都有0.(3)函数f(x)在给定区间上的单调性,是函数在此区间上的整体性质,不一定代表在整个定义域上有此性质谨记常用结论(1)函数f(x)与f(x)c(c为常数)具
3、有相同的单调性(2)k0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k0得x2.又ux24在(,2)上为减函数,在(2,)上为增函数,ylogu为减函数,故f(x)的单调递增区间为(,2)答案:(,2)4.设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的增区间为_答案:1,1,5,75若函数y与ylog3(x2)在(3,)上具有相同的单调性,则实数k的取值范围是_解析:由于ylog3(x2)的定义域为(2,),且为增函数,故函数y2在(3,)上也是增函数,则有4k0,得k4.答案:(,4)6已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数,则满足f(x)f的实数x的取值范围为_解析:
4、由题设得解得1x0)在上的值域为,则a_,b_.解析:f(x)b(a0)在上是增函数,f(x)minf,f(x)maxf(2)2.即解得答案:14.函数y的值域为_解析:由y,可得x2.由x20,知0,解得1y1,故所求函数的值域为1,1)答案:1,1)5函数f(x)的最大值为_解析:当x1时,函数f(x)为减函数,所以f(x)在x1处取得最大值,为f(1)1;当x0时,f(x)x21,则f(2)f(0)_.解析:由题意知f(2)f(2)(221)5,f(0)0,f(2)f(0)5.答案:53.已知函数f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)_.解析:当x0时,x0),则f(x)为周期函数,且T
5、2a为它的一个周期1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x(1,1)时,f(x)则f_.答案:12.若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)_.解析:由f(x)是R上周期为2的函数知,f(3)f(1)1,f(4)f(2)2,f(3)f(4)1.答案:13.已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x2),当2x3时,f(x)x,则f(2 019)_.解析:由已知,可得f(x4)f(x2)2f(x),故函数f(x)的周期为4.f(2 019)f(45043)f(3)3.答案:34.函数f(x)的周期为4,且x(2,2,f(x)2xx2,则f(2 01
6、8)f(2 019) f(2 020)的值为_解析:由f(x)2xx2,x(2,2,知f(1)3,f(0)0,f(2)0,又f(x)的周期为4,所以f(2 018)f(2 019)f(2 020)f(2)f(1)f(0)0303.答案:35已知f(x)是R上的奇函数,且对任意xR都有f(x6)f(x)f(3)成立,则f(2 019)_.解析:f(x)是R上的奇函数,f(0)0,又对任意xR都有f(x6)f(x)f(3),当x3时,有f(3)f(3)f(3)0,f(3)0,f(3)0,f(x6)f(x),周期为6.故f(2 019)f(3)0.答案:06偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f
7、(3)3,则f(1)_.解析:因为f(x)的图象关于直线x2对称,所以f(x)f(4x),f(x)f(4x),又f(x)f(x),所以f(x)f(4x),则f(1)f(41)f(3)3.答案:3课时跟踪检测 1下列函数为奇函数的是()AyBy|sin x|Cycos x Dyexex解析:选D因为函数y的定义域为0,),不关于原点对称,所以函数y为非奇非偶函数,排除A;因为y|sin x|为偶函数,所以排除B;因为ycos x为偶函数,所以排除C;因为yf(x)exex,f(x)exex(exex)f(x),所以函数yexex为奇函数,故选D.2(2019南昌调研)已知函数f(x),则该函数的
8、单调递增区间为()A(,1 B3,)C(,1 D1,)解析:选B设tx22x3,由t0,得x22x30,解得x1或x3.所以函数f(x)的定义域为(,13,)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1,所以函数t在(,1上单调递减,在3,)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3,)3设f(x)x2g(x),xR,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为()Ag(x)x3 Bg(x)cos xCg(x)1x Dg(x)xex解析:选B因为f(x)x2g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(x)2g(x)x2g(x),即g(x)g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中
9、的函数为偶函数,故选B.4(2019三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)()A2x B2xC2x D2x解析:选Cx0,x0.当x0时,f(x)2x.f(x)是R上的奇函数,当x0时,f(x)f(x)2x.故选C.5函数f(x)的图象关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线yx对称解析:选Bf(x)的定义域为3,0)(0,3关于原点对称,且f(x)f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称6(2019石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)单调递增,且f(1)0,若f(x1)0,则x的取值范围为()Ax|0x2 Bx|x2Cx|x3 Dx|x
10、1解析:选A由于函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)单调递增,f(1)0,故由f(x1)0,得1x11,所以0x2,故选A.7(2019天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1,x2(0,),当x1f(x2)”,则f(x)的解析式可以是()Af(x)(x1)2 Bf(x)exCf(x) Df(x)ln(x1)解析:选C根据条件知,f(x)在(0,)上单调递减对于A,f(x)(x1)2在(1,)上单调递增,排除A;对于B,f(x)ex在(0,)上单调递增,排除B;对于D,f(x)ln(x1)在(0,)上单调递增,排除D;对于C,f(x)在(0,)上单调递减,故选C.8函数f(x)则f(x)
11、的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对解析:选A当1x2时,82x610,当1x1时,6x78.f(x)minf(1)6,f(x)maxf(2)10.9当0x2时,ax22x恒成立,则实数a的取值范围是()A(,1 B(,0C(,0) D(0,)解析:选C令f(x)x22x(x22x1)1(x1)21(0x2),函数图象如图所示:f(x)最小值为f(0)f(2)0.而ax22x恒成立,a0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0解析:选Cf(x)f(x),则f(x)f(x)f2(x)0.11已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x4)f(
12、x),当x(0,2)时,f(x)2x2,则f(7)()A2 B2C98 D98解析:选A由f(x4)f(x),得f(7)f(3)f(1)又f(x)为奇函数,f(1)f(1),f(1)2122.f(7)2.故选A.12若函数f(x)为偶函数,且在(0,)上是减函数,又f(3)0,则0的解集为()A(3,3) B(,3)(3,)C(3,0)(3,) D(,3)(0,3)解析:选Cf(x)为偶函数,f(x)f(x),故0可化为3时,f(x)0,当3x0,故0的解集为(3,0)(3,)13已知函数f(x)的最大值为M,最小值为m,则Mm等于()A0 B2C4 D8解析:选Cf(x)2,设g(x),则g
13、(x)g(x)(xR),g(x)为奇函数,g(x)maxg(x)min0.Mf(x)max2g(x)max,mf(x)min2g(x)min,Mm2g(x)max2g(x)min4,故选C.14若函数f(x)在区间2,a上的最大值与最小值的和为,则a_.解析:由f(x)的图象知,f(x)在(0,)上是减函数,2,a(0,),f(x)在2,a上也是减函数,f(x)maxf(2),f(x)minf(a),a4.答案:415(2019郑州模拟)设函数f(x)g(x)x2f(x1),则函数g(x)的递减区间是_解析:由题意知g(x)函数的图象为如图所示的实线部分,根据图象,知g(x)的递减区间是0,1)答案:0,1)16设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)f(x)0;f(x)f(x2);当0x1时,f(x)2x1,则ff(1)ff(2)f_.解析:依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,则f(1)f(1)0,f(1)f(1),即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.答案:1