1、第二节函数的性质考纲要求1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会利用函数的图象理解和研究函数的单调性3结合具体函数，了解函数奇偶性的含义4会利用函数的图象理解和研究函数的奇偶性5了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性第1课时系统知识函数的单调性与最值、奇偶性、周期性函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升
2、的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间点拨(1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有0.(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质谨记常用结论(1)函数f(x)与f(x)c(c为常数)具
3、有相同的单调性(2)k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k0得x2.又ux24在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)答案：(，2)4.设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案：1,1，5,75若函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数y2在(3，)上也是增函数，则有4k0，得k4.答案：(，4)6已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_解析：
4、由题设得解得1x0)在上的值域为，则a_，b_.解析：f(x)b(a0)在上是增函数，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得答案：14.函数y的值域为_解析：由y，可得x2.由x20，知0，解得1y1，故所求函数的值域为1,1)答案：1,1)5函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0时，f(x)x21，则f(2)f(0)_.解析：由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.答案：53.已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.解析：当x0时，x0)，则f(x)为周期函数，且T
5、2a为它的一个周期1.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x(1,1)时，f(x)则f_.答案：12.若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)f(1)1，f(4)f(2)2，f(3)f(4)1.答案：13.已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(2 019)_.解析：由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)，故函数f(x)的周期为4.f(2 019)f(45043)f(3)3.答案：34.函数f(x)的周期为4，且x(2,2，f(x)2xx2，则f(2 01
6、8)f(2 019) f(2 020)的值为_解析：由f(x)2xx2，x(2,2，知f(1)3，f(0)0，f(2)0，又f(x)的周期为4，所以f(2 018)f(2 019)f(2 020)f(2)f(1)f(0)0303.答案：35已知f(x)是R上的奇函数，且对任意xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，则f(2 019)_.解析：f(x)是R上的奇函数，f(0)0，又对任意xR都有f(x6)f(x)f(3)，当x3时，有f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，f(x6)f(x)，周期为6.故f(2 019)f(3)0.答案：06偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f
7、(3)3，则f(1)_.解析：因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)，又f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，则f(1)f(41)f(3)3.答案：3课时跟踪检测 1下列函数为奇函数的是()AyBy|sin x|Cycos x Dyexex解析：选D因为函数y的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数y为非奇非偶函数，排除A；因为y|sin x|为偶函数，所以排除B；因为ycos x为偶函数，所以排除C；因为yf(x)exex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选D.2(2019南昌调研)已知函数f(x)，则该函数的
8、单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，得x22x30，解得x1或x3.所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)3设f(x)x2g(x)，xR，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()Ag(x)x3 Bg(x)cos xCg(x)1x Dg(x)xex解析：选B因为f(x)x2g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(x)2g(x)x2g(x)，即g(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中
9、的函数为偶函数，故选B.4(2019三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)()A2x B2xC2x D2x解析：选Cx0，x0.当x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.故选C.5函数f(x)的图象关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线yx对称解析：选Bf(x)的定义域为3,0)(0,3关于原点对称，且f(x)f(x)，f(x)是奇函数，图象关于原点对称6(2019石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)单调递增，且f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x2 Bx|x2Cx|x3 Dx|x
10、1解析：选A由于函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)单调递增，f(1)0，故由f(x1)0，得1x11，所以0x2，故选A.7(2019天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()Af(x)(x1)2 Bf(x)exCf(x) Df(x)ln(x1)解析：选C根据条件知，f(x)在(0，)上单调递减对于A，f(x)(x1)2在(1，)上单调递增，排除A；对于B，f(x)ex在(0，)上单调递增，排除B；对于D，f(x)ln(x1)在(0，)上单调递增，排除D；对于C，f(x)在(0，)上单调递减，故选C.8函数f(x)则f(x)
11、的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对解析：选A当1x2时，82x610，当1x1时，6x78.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.9当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：选C令f(x)x22x(x22x1)1(x1)21(0x2)，函数图象如图所示：f(x)最小值为f(0)f(2)0.而ax22x恒成立，a0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0解析：选Cf(x)f(x)，则f(x)f(x)f2(x)0.11已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(
12、x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)()A2 B2C98 D98解析：选A由f(x4)f(x)，得f(7)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1)2122.f(7)2.故选A.12若函数f(x)为偶函数，且在(0，)上是减函数，又f(3)0，则0的解集为()A(3,3) B(，3)(3，)C(3,0)(3，) D(，3)(0,3)解析：选Cf(x)为偶函数，f(x)f(x)，故0可化为3时，f(x)0，当3x0，故0的解集为(3,0)(3，)13已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0 B2C4 D8解析：选Cf(x)2，设g(x)，则g
13、(x)g(x)(xR)，g(x)为奇函数，g(x)maxg(x)min0.Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，Mm2g(x)max2g(x)min4，故选C.14若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a_.解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，2，a(0，)，f(x)在2，a上也是减函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，a4.答案：415(2019郑州模拟)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：由题意知g(x)函数的图象为如图所示的实线部分，根据图象，知g(x)的递减区间是0,1)答案：0,1)16设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.答案：1