1、专题讲练 专题6 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航考 点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年求曲线方程卷，21卷，20卷，20主要考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，主要有求曲线方程、最值问题、范围问题、探索性与存在性问题、证明问题题型主要为解答题.最值问题卷，21范围问题探索性与存在性问题卷，20栏目导航02 热 点 题 型 03 精 题 强 化 01 真 题 感 悟 第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航01 真 题 感 悟 1(2018年新课标)设椭圆C：x22y21的右焦点为F
2、，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，求证：OMAOMB.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)c 211，F(1,0)l与x轴垂直，x1.联立x1，x22y21，解得x1，y 22或x1，y 22.A1，22 或A1，22.直线AM的方程为y 22 x 2，或y 22 x 2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0；当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
3、yk(x1)，k0.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1 2，x2 2.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB y1x12 y2x222kx1x23kx1x24kx12x22.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航将yk(x1)代入x22y21，化简得(2k21)x24k2x2k220.x1x2 4k22k21，x1x22k222k21.2kx1x23k(x1x2)4k12k21(4k34k12k38k34k)0.kMAkMB0.MA，MB的倾斜角互补，即OMAOMB.综上，OMAOMB.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2(2019
4、年新课标)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(i)证明：PQG是直角三角形；(ii)求PQG面积的最大值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由题设得 yx2 yx212，化简得x24y221(|x|2)C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)(i)证明：设直线PQ的方程为ykx(k0)联立ykx，x24y221，化简得x212k2
5、.令u212k2，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航直线QE的斜率为k2，方程为yk2(xu)联立yk2xu，x24y221，化简得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xGu3k222k2，则yG uk32k2.kPGuk32k2uku3k222k2u1k.PQPG，即PQG是直角三角形第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(ii)由(i)得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk 1k22k2，SPQG12|PQ|PG|8k1k212k22k281kk121
6、kk 2.设tk1k，由k0得t2，当且仅当k1时取等号SPQG8t12t2在2，)单调递减，当t2，即k1时，SPQG取得最大值169.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点
7、设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航02 热 点 题 型 求曲线方程例1(2018年广东江门一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(2,0)，动点P不在x轴上，直线AP，BP
8、的斜率之积kAPkBP34.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【分析】(1)设P(x，y)(y0)，则kAPyx2，kBPyx2，由直线AP，BP的斜率之积kAPkBP34，能求出动点P的轨迹方程(2)设C(x，y)，D(x0,0)，依题意|AD|CD|，从而|x02|x0 x2y2，进而2(x2)x0 x2y24，由C(x，y)在椭圆上，能求出点D横坐标x0的取值范围【解析】(1)设P(x，y)(y0)，则kAP yx2，kBP yx2，由kAPkBP34，
9、得 yx2 yx234，化简整理得，动点P的轨迹方程为x24y231(y0)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)设C(x，y)，D(x0,0)，依题意|AD|CD|，即|x02|x0 x2y2，平方并移项整理得2(x2)x0 x2y24.C(x，y)在轨迹上，则x24y231(y0)，即y2334x2且x2.所以2(x2)x014x21，x018(x2)因为2x2，所以12x00)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ACB的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的
10、准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点G点坐标第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)抛物线y22px的焦点为F(1,0)，p21，解得p2.抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0则xAt2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为xt212t y1.代入y24x，化简得y22t21ty40.2tyB4，即yB2t，B1t2，2t.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航又xG13(xAxBxC)，yG13(yAyByC)，重心在x轴上，2t2tyC0.C1
11、tt 2，21tt，G2t42t223t2，0.直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)Q在焦点F的右侧，t22.S1S212|FG|yA|12|QG|yC|2t4t2t41 2t22t41.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航令mt22，则m0.S1S22mm24m321m3m4212m3m41 32，当m 3时，S1S2取得最小值为1 32，此时G(2,0)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理
12、、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，其中|MN|8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线且lMN，P为l上一点，求PM PN的最小值【解析】(1)由题意可知Fp2，0，则该直线方程为yxp2，代入y22px(p0)，得x23pxp24 0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p.|MN|8，x1x2p8
13、，即3pp8，解得p2.抛物线的方程为y24x.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.直线l为抛物线C的切线，0，解得b1.直线l的方程为yx1.由(1)可知x1x26，x1x21.设P(m，m1)，则PM(x1m，y1(m1)，PN(x2m，y2(m1)，PM PN(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航x1x26，x1x21，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2
14、)11614，y1y2(x11)(x21)624.PM PN16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)21414，当且仅当m2时，即点P的坐标为(2,3)时，PM PN的最小值为14.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航范围问题例3(2018年浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，求证：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2y24 1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【分析】(1)设P(m，
15、n)，A y214，y1，B y224，y2，运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y22ny8mn20的两根，由根与系数的关系即可得到结论(2)由题意可得m2 n241，1m0，2n2，可得PAB面积为S 12|PM|y1y2|，再由配方和换元法，可得所求范围第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)证明：可设P(m，n)，Ay214，y1，By224，y2，AB中点M的坐标为y21y228，y1y22.抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得ny1224my21
16、42，ny2224my2242，化简可得y1，y2为关于y的方程y22ny8mn20的两根，可得y1y22n，y1y28mn2.可得ny1y22，点P，M的纵坐标相同，则PM垂直于y轴第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)若P是半椭圆x2y241(x0)上的动点，可得m2n24 1，1m0，2n2.由(1)可得y1y22n，y1y28mn2.由PM垂直于y轴，可得PAB面积为S12|PM|y1y2|12y21y228m y1y224y1y21164n216m2n212m 4n232m4n23 24(n24m)n24m.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理
17、科)返回导航令t n24m 44m24m4m1225，可得m12时，t取得最大值 5；m1时，t取得最小值2，即2t 5.则S3 24 t3在2t 5递增，可得S6 2，15410，即PAB面积的取值范围为6 2，15410.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航求解范围问题的常见求法：1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围4利用基本不等式求出参数的取值范围5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围第一部分 专题讲练 高
18、考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年广西柳州模拟)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，过椭圆顶点(a,0)，(0，b)的直线与圆x2y223相切(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OA OB tOP(O为坐标原点)，当|PAPB|0，k212.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航OA OB tOP，(x1x2，y1y2)t(x0，y0)，则x0 x1x2t8k2t12k2，y0y1y2t1tk(x1x2)4k4kt12k2.点P在椭圆上，8k22t212k222 4k2t
19、212k222，16k2t2(12k2)|PAPB|2 53，1k2|x1x2|2 53，(1k2)(x1x2)24x1x2209.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(1k2)64k412k2248k2212k2 0，k214.14k212.16k2t2(12k2)，t2 16k212k28812k2.2t2 63 或2 63 t2)，直线l：ykx1(k0)与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为12，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有AMOBMO(O为坐标原点)若存在，
20、求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由x2a2y241，ykx1，得(4a2k2)x22a2kx3a20，显然0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2 2a2k4a2k2，x1x23a24a2k2，x0a2k4a2k2，y0 a2k24a2k2144a2k2.ky0 x0k 4a2k 12.a28.椭圆C的方程为x28y241.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)假设存在定点M，且设M(0，m)，由AMOBMO得kAMkBM0.y1mx1y2mx20，即y1x
21、2y2x1m(x1x2)0.2kx1x2x1x2m(x1x2)0.由(1)知x1x24k12k2，x1x2612k2，12k12k24k12k2 4mk12k20.m4.存在定点M(0,4)使得AMOBMO.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x 12 平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围【解析】(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y)由抛物线定义，得|AF|2，即(2x)2y24.轨迹C
22、的方程为x2y241(x1)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)设弦MN的中点为P12，y0，M(xM，yM)，N(xN，yN)由点M，N为轨迹C上的点，可知4x2My2M4，4x2Ny2N4.两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0.将xMxN212 1，yMyN2y0，yMyNxMxN1k代入上式，得ky02.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航又点P12，y0 在弦MN的垂直平分线上，y012km.my012k34y0.由点P12，y0 在线段BB上B，B为直线x12与椭圆的交点，如图所示，yBy0yB，即 3y0 3.3 34 m3 34，且m0.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航专题复习检测谢谢观看
