1、模块素养评价(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列an的前4项依次为-,1,-,则该数列的一个通项公式可以是()A.an=(-1)nB.an=(-1)n+1C.an=(-1)nD.an=(-1)n+1【解析】选A.数列的前4项分别为-,-,可得奇数项为负数,偶数项为正数,可知:第n项的符号为(-1)n,排除选项B,D;取n=2,验证可知A正确.2.在等差数列an中,a1=2,a3+a7=28,若am=26,则m=()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题意,可得a3+a7=2a5=2
2、8,故a5=14.所以公差d=3,所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1,所以am=3m-1=26,解得m=9.3.曲线y=ln(ax+1)在点(0,0)处的切线过点(4,8),则a=()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.y=ln (ax+1)的导数y=,切线斜率为=2,所以a=2.4.(2020武汉高二检测)等差数列an中,a1与a4 037是f(x)=x-4ln x-的两个极值点,则loa2 019=()A.1B.2C.0D.【解析】选B.f(x)=1-+=,因为a1与a4 037是f(x)=x-4ln x-的两个极值点,令g(x)=x2-4x+m,所以a1与a4 0
3、37是方程x2-4x+m=0的两个根,即a1+a4 037=4,也即2a2 019=4,所以a2 019=2,则loa2 019=2log22=2.5.在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n123(2n-1)(nN+)时,从k到k+1,左端需要增加的代数式是()A.2k+1B.2(2k+1)C.D.【解析】选B.当n=k+1时,左端=(k+1)(k+2)(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),所以左端增加的代数式为(k+k+1)(k+1+k+1)=2(2k+1).6.(2020佛山高二检测)已知等比数列an满足a1-a2=36,a1-a3=24,则使得a1a2an取得最大值
4、的n为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.设等比数列an的公比为q.因为等比数列an满足a1-a2=36,a1-a3=24,解得,q=-,a1=27,所以an=,当n=4时,a1a2an取得最大值.7.(2020石家庄高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为f(x),若xf(x)-2f(x)0,f(-2)=1,则不等式0,所以,当x0时,g(x)0,即g(x)在区间(0,+)上单调递增;又f(x)是R上的偶函数,所以g(x)=是(-,0)(0,+)上的偶函数,又f(2)=f(-2)=1;故g(2)=,于是,不等式化为g(x)g(2),故|x|2,解得-2x0的等差数列an的四
5、个命题中真命题是()A.数列an是递增数列B.数列nan是递增数列C.数列是递增数列D.数列an+3nd是递增数列【解析】选AD.因为对于公差d0的等差数列an,an+1-an=d0,所以数列an是递增数列成立,A是真命题.对于数列nan,第n+1项与第n项的差等于 (n+1)an+1-nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,B是假命题.对于数列,第n+1项与第n项的差等于-=,不一定是正实数,C是假命题.对于数列an+3nd,第n+1项与第n项的差等于 an+1+3(n+1)d-an-3nd=4d0,数列an+3nd是递增数列成立,D是真命题.10.已知an为等比数列,下列结论中正确的结
6、论是()A.a3+a52a4B.+2C.若a3=a5,则a1=a2D.若a5a3,则a7a5【解析】选BD.若an=(-1)n,则a3+a52a4不成立,故A错误;因为+2|a3a5|=2,故+2,故B正确;若an=(-1)n,则a3=a5=-1,但a1=-1,a2=1,a1=a2不成立,故C错误;若a5a3,则q2a3a3,因为q20,所以q4a3q2a3,即a7a5成立,故D正确.11.(2020济南高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f(x),g(x)为其导函数,当x0时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0且g(-3)=0,则使不等式f(x)g(x)0成立的
7、x的取值范围是()A.(-,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(3,+)【解析】选BD.因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),令h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=-h(x),故h(x)=f(x)g(x)为R上的奇函数,因为当x0时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0,即x0时,h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0,所以h(x)=f(x)g(x)在区间(-,0)上单调递减,所以奇函数h(x)在区间(0,+)上也单调递减,又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0,所以当x(-3,0
8、)(3,+)时,h(x)=f(x)g(x)2时,对任意的x2且xa,恒有f(x)f(a)+f(a)(x-a)D.函数f(x)有且只有一个零点【解析】选BCD.f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数f(x)=3x2-4x-4.令f(x)=0,解得x=-,x=2,当f(x)0时,即x2时,函数单调递增,当f(x)0时,即-x2时,函数单调递减;故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=-15,当x=-时,函数有极大值,极大值为f2时,f(x)0,f(x)单调递增且f(x)逐渐增大.若xa2,则f(a)f(x)f(a)+f(a)(x-a),若ax2,则f(a)+f(a)(x-a),故C正确.
9、三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.用数学归纳法证明:1+a+a2+an+1=(a1,nN+),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是_.【解析】用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=(a1,nN+)”时,在验证n=1成立时,将n=1代入,左边以1即a0开始,以a1+1=a2结束,所以左边应该是1+a+a2.答案:1+a+a214.已知数列an是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列an-n的前n项和为Sn,那么S4_S5(填“”“”或“=”).【解析】因为数列an是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.解方程可
10、得,q=2或q=-3(舍),所以a1=,所以an-n=2n-1-n=2n-2-n,所以S5-S4=a5-5=23-5=3,所以S4S5.答案:1,则当其前n项的乘积取最大值时,n的最大值为_.【解析】若各项均为正数的等比数列an是一个“2 020积数列”,且a11,所以q0.所以a2 020=a1a2a3a2 020,所以a1a2a3a2 019=1.又an0,所以a1 010=1,因为a11,所以0q1,0a1 0111,所以当其前n项的乘积取最大值时,n的最大值为1 010.答案:1 01016.(2020石嘴山高二检测)已知曲线y=f(x)=4sin x+x3在x=0处的切线与直线nx-
11、y-6=0平行,则n为_.【解析】根据题意得f(x)=4cos x+x2,则有f(0)=4+0=4,即曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=4,又曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行,所以n=4.答案:4【加练固】已知曲线f(x)=ln (a+x)(aR)在(0,0)处的切线方程为y=x,则满足0f(x-2)1的x的取值范围为_.【解析】因为f(x)=,所以f(0)=,f(0)=ln a,则曲线在(0,0)处的切线方程为y=x+ln a,所以=1,ln a=0,解得a=1,所以f(x)=ln (x+1),则0f(x-2)1即0ln (x-1)1,所以1x-1e.解得2
12、xe+1.答案:2,e+1四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1+S3=20,S5=50.(1)求数列an的通项公式;(2)请确定3 998是否是数列an中的项.【解析】(1)设数列an的公差为d.由题意有解得a1=2,d=4,则数列an的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2.(2)假设3 998是数列an中的项,则有4n-2=3 998,得n=1 000,故3 998是数列an中的第1 000项.18.(12分)已知函数f(x)=xln x.(1)求函数f(x)的图象在x=e处的切线方程;(
13、2)求函数f(x)的最小值.【解析】(1)f(x)=ln x+1,所以函数f(x)的图象在x=e处的切线斜率k=f(e)=ln e+1=2.又f=e,切点坐标为,所以函数f(x)的图象在x=e处的切线方程为y=2+e,即y=2x-e.(2)函数f(x)=xln x的定义域为(0,+),令f(x)=ln x+1=0,得x=.当x时,f(x)0,f(x)在上单调递增.所以函数f(x)的最小值为f=-.19.(12分)已知数列an的前n项和Sn满足an=1-2Sn(nN+).(1)求证:数列an是等比数列;(2)设函数f(x)=lox,bn=f(a1)+f(a2)+f(an),Tn=+,求T100.
14、【解析】(1)因为an=1-2Sn,所以an-1=1-2Sn-1(n2),所以an-an-1=2Sn-1-2Sn=-2an(n2),所以an=an-1(n2).又a1=1-2S1,所以a1=.所以数列an是首项为,公比为的等比数列.(2)因为f(x)=lox,所以bn=loa1+loa2+loan=lo(a1a2an)=lo=1+2+n=.所以=2,所以T100=+=2=.20.(12分)(2020北京高考)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
15、【解析】(1)f(x)定义域为R,f(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,所以S(t)=(t2+12)|+|,t0,易知S(t)为偶函数,当t0时,S(t)=t3+6t+,S(t)=,令S(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+)S(t)-0+S(t)极小值所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶
16、函数,所以当t=2时,S(t)有最小值32.21.(12分)观察以下等式:13=12;13+23=(1+2)2;13+23+33=(1+2+3)2;13+23+33+43=(1+2+3+4)2;(1)请用含n的等式归纳猜想出一般性结论,并用数学归纳法加以证明.(2)设数列an的前n项和为Sn,且an=n3+n,求S10.【解析】(1)猜想13+23+33+n3=(1+2+3+n)2.证明如下:当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;假设当n=k(k1,kN+)时,13+23+33+k3=(1+2+3+k)2成立,则当n=k+1时,13+23+33+k3+(k+1)3=(1+2+3+k)2+(
17、k+1)3=+(k+1)3=(k+1)2=1+2+(k+1)2,可得n=k+1时,猜想也成立,综上可得对任意的正整数n,13+23+33+n3=(1+2+3+n)2.(2)数列an的前n项和为Sn,且an=n3+n,S10=(13+23+103)+(1+2+3+10)=(1+2+10)2+=552+55=3 080.22.(12分)在等比数列an中,a10,nN+,且a3-a2=8,又a1,a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2,数列bn的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得+0,故a3=16,因为a3-a2=8,所以a2=8,所以q=2,所以an=2n+1.(2)因为bn=log22n=n,所以Sn=1+2+n=.因为=2,所以+=2=22,所以正整数k的最小值为2.
