1、单元素养评价(二) (第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.从x0到x1的平均变化率B.在x=x1处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间x0,x1上的导数【解析】选A.=表示函数从x0到x1的平均变化率.2.(2020宁城高二检测)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2,则物体开始运动后第4 s时的动能是(
2、)A.160 JB.165 JC.170 JD.175 J【解析】选A.根据题意,物体的运动距离s与时间t的关系式为s(t)=1+t2,则有s(t)=2t,物体开始运动后第4 s时速度v=s(4)=8(m/s),物体开始运动后第4 s时的动能Ek=mv2=564=160(J).3.若f(x)=sin -cos x,则f(x)等于()A.cos +sin xB.2sin +cos xC.sin xD.cos x【解析】选C.函数是关于x的函数,因此sin 是一个常数.4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为()A.B.C.D.1【解析】选A.y=-2e
3、-2x,y|x=0=-2,点(0,2)处的切线方程为y-2=-2x.令y=0,得x=1.由得所以S=1=.5.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.f(x)=x2+a,当a0时,f(x)0恒成立,故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f(x)=0的实数根,所以a=5.7.将周长为4的矩形
4、ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时,AB的长为()A.B.C.D.1【解析】选B.因为矩形ABCD周长为4,设BC=x(0x2),则AB=2-x,所以将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积为V(x)=x2(2-x)=(2x2-x3),0x0得4x-3x20,解得0x;由V(x)0得4x-3x20,解得x0,函数y=的导数为y=,则直线l的斜率k=,直线l的方程为y-=,即x-2y+x0=0,由于直线l与圆x2+y2=相切,则=,两边平方并整理得5-4x0-1=0,解得x0=1,x0=-(舍),则直线l的方程为x-2y+1=0,即y=x+.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题
5、5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2020济南高二检测)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是()A.=B.(cos 2x)=-2sin 2xC.=3xD.(lg x)=【解析】选BC.=-,(cos 2x)=-2sin 2x,=3x,(lg x)=.10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,则()A.在x=-2时,函数y=f(x)取得极值B.在x=1时,函数y=f(x)取得极值C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增【解析】选AD.由题图可知,x=-2是导函数f(x)的
6、一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;x=1不是导函数f(x)的一个变号零点,故当x=1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f(0)0,选项C错误;当x(-2,2)时,f(x)0,此时函数y=f(x)单调递增,选项D正确.11.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示,则g(x)=()A.在区间(0,1)上是单调递增的B.在区间(1,4)上是单调递减的C.在区间上是单调递减的D.在区间上是单调递减的【解析】选AC.当x=0或x=2时,f(x)=0,则函数g(x)=的定义域为(-,0)(0,2)(2,+),排除选项B,D;g
7、(x)=,由图易得当x(0,1)时,f(x)f(x),即g(x)=0,所以函数g(x)=在(0,1)上是单调递增的,故选项A正确;又由图易得当x时,f(x)f(x),即g(x)=0,所以函数g(x)=在上是单调递减的,故选AC.12.(2020烟台高二检测)已知函数f(x)=xln x,若0x1x2,则下列结论正确的是()A.x2f(x1)x1f(x2)B.x1+f(x1)x2+f(x2)C.-1时,x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1)【解析】选AD.A正确.因为令g(x)=ln x,在(0,+)上是增函数,所以当 0x1x2 时,g(x1)g(x2),所以,即x2f(x1)0,g(
8、x)单调递增,x(0,e-2)时,g(x)-1时,f(x)单调递增,又因为A正确,所以x1f(x1)+x2f(x2)- 2x2f(x1)x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,即x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知f(x)=x(2 016+ln x),f(x0)=2 017,则x0=_.【解析】f(x)=2 016+ln x+1=2 017+ln x,又因为f(x0)=2 017,所以f(x0)=2 017+ln x0=2 017,则ln x0
9、=0,x0=1.答案:114.已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x时,f(x)=x+sin x,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是_.【解题指南】利用f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),再结合f(x)在的单调性比较大小.【解析】f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),因为f(x)=1+cos x0,故f(x)在上是增函数,因为-21-30,所以f(-2)f(1)f(-3),即cab.答案:cab15.(2020长沙高二检测)已知曲线C1:f(x)=-ex-2x,曲线C2:g(x)=ax+cos x,(1)若曲线C1在x=0处的切线与C2
10、在x=处的切线平行,则实数a=_.(2)若曲线C1上任意一点处的切线为l1,总存在C2上一点处的切线l2,使得l1l2,则实数a的取值范围为_.【解析】(1)f(x)=-ex-2,曲线C1在x=0处的切线的斜率f(0)=-3,g(x)=a-sin x,曲线C2在x=处的切线的斜率g=a-1,由题意得,a=-2.(2)曲线C1上任意一点处的切线的斜率k1=f(x)=-ex-2,则与l1垂直的直线的斜率为,而曲线C2上任意一点处的切线的斜率k2=g(x)=a-sin xa-1,a+1,由题意,解得-a1.答案:(1)-2(2)16.已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表,f(x)的导
11、函数y=f(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:x-10245f(x)12021函数y=f(x)在x=2取到极小值;函数f(x)在0,1是减函数,在1,2是增函数;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.其中所有正确命题是_(写出正确命题的序号).【解析】由图象可知当-1x0,2x0,此时函数单调递增,当0x2,4x5时,f(x)0,此时函数单调递减,所以当x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以正确.函数在0,2上单调递减,所以错误.因为x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取
12、得极小值.所以f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0,因为f(-1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当1a0),若f(x)在(0,1上的最大值为,求a的值.【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)=-+a,当x(0,1时,f (x)=+a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)=a,因此a=.19.(12分)(2020西安高二检测)已知f(x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=exex+2f(0)ex-f(0)x.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)由f(0)=1+2f(0),得f(0)=-1,因为f(x)
13、=2-2ex-f(0),所以f(0)=-f(0),解得f(0)=0.(2)因为f(x)=-2ex,则f(x)=2ex(ex-1).当x(-,0)时,f(x)0,则函数f(x)在(0,+)上单调递增.故f(x)在x=0处取得极小值,极小值为-1,无极大值.20.(12分)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值.(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围.【解析】(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲
14、线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即a+1=1+b,2a=3+b,解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6x-9.令h(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h(x)在(-,2上的变化情况如下:x(-,-3)-3(-3,1)1(1,2)2h(x)+0-0+h(x)28-43所以,当k-3时,h(x)在k,2上的最大值为h(-3)=28;当-3k0;当x时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)上存在唯一零点.所以f(x)在(
15、0,)上存在唯一零点.(2)由(1)知,f(x)在(0,)上只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)c时,P=,所以T=x2-x1=0.当1xc时,P=,所以T=(1-)x2-()x1=.综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:T=(2)由(1)知,当xc时,每天的盈利额为0,当1xc时,T=,令T=0,解得x=3或x=9.因为1xc,c6,所以()当3c6时,Tmax=3,此时x=3.()当1c3时,由T=,知函数T=在1,3)上递增,所以Tmax=,此时x=c.综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
