1、2021年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知全集UR，集合，集合Bx|x22x0，则AB等于（）A1，2）B（1，2）C0，1D（0，12设z是复数，若z（1i）|i|（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为BzC|z|1Dz+13（x）6展开式中的常数项为（）A160B160C80D804如图是20102020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A2015年以来我国考研报名人数逐年增多B这11年来考研报名人数的极差超过160万人C2015年是这11年来报考人数最少的一年D2015年的报录比最低5如图是某著名高校
2、的课程结业成绩“绩点”计算框图，输入课程结业考试成绩x0，100，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点”本学期小王同学一共有三门课程结业，考试成绩分别是60分（1）、80分（2）、100分（2），括号里面的数字是该门课程对应的学分已知每学期“平均绩点”（简称GPA）是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为（）A3.5B3.6C3.7D3.86某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）AB8CD47正项等比数列an中，已知a10113，那么log3a1+log3a2+log3a2
3、021（）A4042B2021C4036D20188图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若AD4，BD2，那么（）A2B2C6D69已知函数f（x）asinx2cosx，若f（t）0，f（t）0，且f（x）在（t，t+）上恰有一个最大值点，那么的取值范围是（）ABCD（0，10对圆x2+y21上任意一点P（x，y），若|3x4y+a|3x4y9|的值都与x，y无关，则实数a的取值范围是（）Aa5B5a5Ca5或a5Da
4、511已知O为坐标原点，F是双曲线C：1（a0，b0）的左焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|ON|，则双曲线C的离心率为（）AB2CD12已知向量（，1），（1，）函数f（x），若关于x的方程f（x）k（x+1）只有一个实数根，则实数k的取值范围是（）A（，0B（，0（1，+）C1，+）D（0，1二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n200），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“
5、临界生”人数约为 14已知等差数列an中，a1030，a2050，那么等差数列an的通项公式为an 15把如图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三点始终可以重合于点D得到三棱锥DABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 16已知点A在抛物线y23x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若BAF30，则A的坐标为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等腰ABC中，ABAC，D是AC的中点，且BD6（1）若AD3，求ABC的面积；（2）若BC4，求sinC18已知在空间几何体ABCDE中，ABC、BCD、ECD都是边长为
6、2的正三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD（1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由；（2）求二面角BAEC的平面角的余弦值19针对时下的“网络文学热”，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关”作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的，男生喜欢“网络文学”的人数占男生人数的，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的设抽取的男生人数为x（xN*）（1）完成22列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数x的最小值；喜欢网络文学不喜欢网络文学总计男生x女生总计（2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取3名同学进行问卷调查，记3名
7、同学中女生人数为，求的分布列和期望附：，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.87920已知直线m与椭圆C：1相切于点P（1，），直线n与椭圆C分别交于点A、B（异于点P），与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线yx上（1）求直线m的方程；（2）证明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比数列21设函数f（x）e2x+（x1）ex（aR）（1）当a时，求g（x）f（x）e1x的单调区间（f（x）是f（x）的导数）；（2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1x2），且正实数使1+x1+x2成立，求正实数的取值范围请考生在22、23二题中
8、任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin22（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为（1，），求l的斜率选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|x1|+|x|（1）解不等式f（x）3x；（2）已知f（x）的最小值为m，正实数a、b满足a+2bm，求的最小值，并指出此时a、b的值参考答案一、选择
9、题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集UR，集合，集合Bx|x22x0，则AB等于（）A1，2）B（1，2）C0，1D（0，1解：集合x|1x0x|x1，集合Bx|x22x0x|0x2，所以ABx|0x1（0，1故选：D2设z是复数，若z（1i）|i|（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）Az的虚部为BzC|z|1Dz+1解：z（1i）|i|1，z，故B错误；z的虚部为，故A错误；|z|，故C错误；，故D正确故选：D3（x）6展开式中的常数项为（）A160B160C80D80解：二项式的展开式的通项公式为TC，令62r0，
10、解得r3，故常数项为C，故选：A4如图是20102020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A2015年以来我国考研报名人数逐年增多B这11年来考研报名人数的极差超过160万人C2015年是这11年来报考人数最少的一年D2015年的报录比最低解：对于选项A：由条形图可知，2015年以来我国考研报名人数逐年增多，所以选项A正确，对于选项B：由条形图可知，考研人数最大是330万左右，最小是145万左右，极差估计为185万，所以选项B正确，对于选项C：由条形图可知，报考人数最少的一年是2010年，所以选项C错误，对于选项D：由折线图可知，2015年的报录比最低，所
11、以选项D正确，故选：C5如图是某著名高校的课程结业成绩“绩点”计算框图，输入课程结业考试成绩x0，100，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点”本学期小王同学一共有三门课程结业，考试成绩分别是60分（1）、80分（2）、100分（2），括号里面的数字是该门课程对应的学分已知每学期“平均绩点”（简称GPA）是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为（）A3.5B3.6C3.7D3.8解：设三门课程的绩点分别为S1，S2，S3，则S143，S243.75，S344，所以GPA3.7故选：C6某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图
12、和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）AB8CD4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱PA底面ABCD，PA2，则该四棱锥的体积V故选：A7正项等比数列an中，已知a10113，那么log3a1+log3a2+log3a2021（）A4042B2021C4036D2018解：正项等比数列an中，a10113，a1a2a202132021，log3a1+log3a2+log3a2021log3（a1a2a2021）2021故选：B8图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一
13、个大的正方形某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若AD4，BD2，那么（）A2B2C6D6解：由题意可知，FDEDEFEFD60，AECCFBBDA120，又AD4，BD2，BFCEAD4，BDDFCFEFAEDE2，2+4+226故选：C9已知函数f（x）asinx2cosx，若f（t）0，f（t）0，且f（x）在（t，t+）上恰有一个最大值点，那么的取值范围是（）ABCD（0，解：函数f（x）asinx2cosx，其中，则f（x）的最小正周期为2，又f（t）0，f（t）0，且f（x）在（t，t+）上恰有一个最大值点，所以
14、，解得故选：A10对圆x2+y21上任意一点P（x，y），若|3x4y+a|3x4y9|的值都与x，y无关，则实数a的取值范围是（）Aa5B5a5Ca5或a5Da5解：设直线l1：3x4y+a0，l2：3x4y90，则点P到直线l1的距离，点P到l2的距离，因为|3x4y+a|3x4y9|的值都与x，y无关，所以d1d2为常数，所以两条直线在圆的同一侧，且与圆不相交，因为直线l2在圆的下方，所以直线l1也在圆的下方，则有圆心（0，0）到直线l1的距离，解得a5或a5，因为直线l1也在圆的下方，所以a5故选：A11已知O为坐标原点，F是双曲线C：1（a0，b0）的左焦点，A、B分别为双曲线的左、
15、右顶点，点P在C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|ON|，则双曲线C的离心率为（）AB2CD解：由题意知，F（c，0），不妨取点P在第二象限，设点M为（c，m），则m0，A（a，0），B（a，0），直线AM的方程为y（x+a），直线BM的方程为y（xa），E（0，），N （0，），|OE|ON|，|，即（1）c（1+）a，离心率e故选：C12已知向量（，1），（1，）函数f（x），若关于x的方程f（x）k（x+1）只有一个实数根，则实数k的取值范围是（）A（，0B（，0（1，+）C1，+）D（0，1解：由题意，f（x），f（1）2
16、k（1+1）0，f（0）0，当x1，1时，f（x）f（x），x1时，f（x）f（x），可得f（x）在R上为奇函数，当x0时，f（x），所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，且f（1）2，当x+时，f（x）0，所以f（x）在（，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增，且f（1）2，当x时，f（x）0，作出f（x）的大致图象，如图所示：直线yk（x+1）恒过定点（1，0），当直线经过点（1，2）时，斜率k1，因为方程f（x）k（x+1）只有一个实数根，所以函数f（x）的图象与直线yk（x+1）只有一个交点，结合图象可知k0或k1，即实数k的取值范围是（，0（1，+）故选：B二
17、、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n200），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为30解：由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：2002（6+9）21530（人）故答案为：3014已知等差数列an中，a1030，a2050，那么等差数列an的通项公式为an2n+10解：设等差数列an的公差为d，a1030，a2050，a1+9d30，a1+19d50，联立解得：a112，d2，那么等差数列an的通项公式为an12+2（n1）2n+10故答案为：2n+1015把如
18、图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三点始终可以重合于点D得到三棱锥DABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为50解：在三棱锥DABC中，当且仅当DA平面ABC时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R，球心为O，球心O到平面ABC的投影点为F，则有R2OA2OF2+AF2，又OF，AF，所以R，所以球的表面积为S4R24，故答案为：5016已知点A在抛物线y23x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若BAF30，则A的坐标为（，）解：设A（，n），由y23x，两边对x求导，可得2yy3，即有y，可得A处的切线的斜率为，抛物线y
19、23x的焦点F（，0），由直线AF的斜率为，所以tan30，化为，解得n，可得A（，）故答案为：A（，）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等腰ABC中，ABAC，D是AC的中点，且BD6（1）若AD3，求ABC的面积；（2）若BC4，求sinC解：（1）因为ABAC，D是AC的中点，且BD6，AD3，所以在ABD中，由余弦定理可得cosA，可得sinA，所以SABCABACsinA（2）设CDx，由题意可得ABAC2x，在ABC中，由余弦定理可得：cosC，在BCD中，由余弦定理可得：cosC，所以，解得x2，所以cosC，可得sinC18已知在空间几何体ABCDE中，
20、ABC、BCD、ECD都是边长为2的正三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD（1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由；（2）求二面角BAEC的平面角的余弦值解：（1）A、E、B、D四点共面，理由如下：取DC中点M，因为ECD是正三角形，所以EMDC，因为平面CDE平面BCD，平面CDE平面BCDDC，所以EM平面BCD，取BC中点N，同理ANBC，AN平面BCD，连接MN，所以MNBD，又因为ABC、BCD、ECD都是边长为2的正三角形，所以EMAN，EMAN，所以四边形AEMN为平行四边形，所以AEMN，AEMN，所以AEBD，所以A、E、B、D四点共面（2）取AE中点P，连接
21、PC，因为CACE，所以PCAE，取BD中点Q，连接PQ，因为四边形AEDB为等腰梯形，所以PQAE，所以CPQ为二面角BAEC的平面角，连接CQ，交MN于O，连接PO，所以POEM，PO是CQ的垂直平分线，设QPO，则tan，所以cos2，所以二面角BAEC的平面角的余弦值为19针对时下的“网络文学热”，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关”作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的，男生喜欢“网络文学”的人数占男生人数的，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的设抽取的男生人数为x（xN*）（1）完成22列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数x
22、的最小值；喜欢网络文学不喜欢网络文学总计男生x女生总计（2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取3名同学进行问卷调查，记3名同学中女生人数为，求的分布列和期望附：，na+b+c+dP（K2k）0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.879解：（1）22列联表为：喜欢网络文学 不喜欢网络文学 总计男生 x女生 总计 x 所以，解得，因为为正整数，所以男生人数x的最小值为12；（2）当x取最小值12时，由题意可知，喜欢网络文学的同学中有男生2人，女生4人，故的可能取值为1，2，3，所以P（1），P（2），P（3），所以的分布列为： 123 P所以的数学
23、期望为E（）1+2+3220已知直线m与椭圆C：1相切于点P（1，），直线n与椭圆C分别交于点A、B（异于点P），与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线yx上（1）求直线m的方程；（2）证明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比数列解：（1）设切线m的方程为yk（x1），联立，得（3+4k2）x2+（8k2+12k）x+4k212k30，所以（8k2+12k）24（3+4k2）（4k212k3）0，解得k，所以直线m的方程为y（x1），即x+2y40（2）设直线n：yx+a，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，解得x2a，y+1，所以Q（2a，+1），联立，得x2+x+10，所以（1）0
24、，即2a2，所以|AQ|BQ|2ax1|2ax2|，|2ax1|2ax2|（2a）2（2a）（x1+x2）+x1x2|（2a）2（2a）（a）+a23|a23a+2|3a+2，又|PQ|（+1）2+（2a1）23a+2，所以|AQ|BQ|PQ|2，所以|AQ|，|PQ|，|BQ|成比数列21设函数f（x）e2x+（x1）ex（aR）（1）当a时，求g（x）f（x）e1x的单调区间（f（x）是f（x）的导数）；（2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1x2），且正实数使1+x1+x2成立，求正实数的取值范围解：（1）因为a，f（x）e2x+（x1）ex，f（x）e2x+xex，g（x）f（x）
25、e1x（e2x+xex）e1xex+ex，g（x）ex+e，令g（x）0，可得x1，当x（，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减（2）因为f（x）ae2x+xexex（aex+x），令f（x）0，可得a，设h（x），ya，由题意可知，ya与h（x）的图象有两个交点x1、x2（x1x2），因为h（x），令h（x）0，可得0x1，令h（x）0，可得x1，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以0x11x2，所以x21（1x1），由1+x1+x2得（x21）x11，得（x21）（1x1），当x1x2时，1，因为x1x2，所以01
26、请考生在22、23二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin22（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为（1，），求l的斜率解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），当cos0，即直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1；当cos0，即直线l的斜率存在时，ytan（x1），即yxtan+tan；由xco
27、s，ysin，x2+y22，曲线C的极坐标方程为2sin22，即cos（sin）1，可得曲线C的直角坐标方程为xy1；（2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为（1，），由t为参数，可得0，将直线l的参数方程代入xy1，可得（1+tcos）（+tsin）1，化为t2cossin+（cos+sin）t+10，可得t1+t20，即有sin+cos0，则直线l的斜率为tan选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|x1|+|x|（1）解不等式f（x）3x；（2）已知f（x）的最小值为m，正实数a、b满足a+2bm，求的最小值，并指出此时a、b的值解：（1）f（x）|x+1|+|x1|+|x|，f（x）3x，则，在各个取值范围内，不等式均成立，所以不等式f（x）3x的解集为R（2）由（1）可知f（x）的最小值为f（0）2，所以a+2b2，所以，令g（a）（a0），所以g（a），令g（a）0，可得a4+3，令g（a）0，可得0a4+3，所以g（a）在（0，4+3）上单调递减，在（4+3，+）上单调递增，所以g（a）的最小值为g（4+3）1+，将a4+3代入a+2b2中，可得b3，即的最小值为1+，此时a4+3，b3
