1、向量的线性运算(15分钟30分)1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于()A.10dB.-10dC.20dD.-20d【解析】选B.2a-3b+c=24d-35d-3d=8d-15d-3d=-10d.【补偿训练】化简下列各式(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)-【解析】(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=a-b-a-b=-2b.2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(
2、7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.3.已知e 是单位向量,a=2e,b=-3e ,则=_.【解析】由题意得a-2b=8e ,故=8.答案:84.(2020长沙高一检测)如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=_(用向量,表示).【解析】=+=+=-.答案:-5.如图,以向量=a,=b为边作OADB,=,=,用a,b表示,.【解析】因为=-=a-b,=a-b,所以=+=a+b,又因为=a+b,=+=+=(a+b)=a+b,所以=-=a+b-a-b=a-b,即有=a+b,=a+b,=a-b.(30分钟60分)一、单选题(每
3、小题5分,共20分)1.(2020杭州高一检测)下面四种说法:对于实数m和向量a,b,恒有m=ma-mb;对于实数m,n和向量a,恒有a=ma-na;对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由数乘向量运算律,得均正确.对于,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.2.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于()A.a+bB.a+bC.(a+b)D.a+b【解析】选C.+=+=2,所以=(a+b)
4、.3.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.(+),(0,1)B.(+),(0,)C.(-),(0,1)D.(-),(0,)【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=,则(0,1),于是=(+),(0,1).4.已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足+=,则点P与ABC的关系为()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以+=-,即2+=0,即=2,故=,所以点P是AC边的一个三等分点.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选
5、对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,向量,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是()A.r=-p+qB.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2p【解析】选BCD.因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.6.若点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是()A.=-a-bB.=a+bC.=-a+bD.=a【解析】选ABC.如图在ABC中=+=-+=-b-a,故A正确;=+=a+b,故B正确;=+=-b-a,=+=b+(-b-a)=-
6、a+b,故C正确;=-a,故D不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(1)化简:=_.(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x=_,y=_.(用向量a,b表示)【解析】(1)原式=a-b.(2)由3+2得,x=3a+2b,代入得3(3a+2b)-2y=a,即y=4a+3b,所以x=3a+2b,y=4a+3b.答案:(1)a-b(2)3a+2b4a+3b8.(2020潍坊高一检测)在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P,Q,R三点共线的充要条件是:存在实数t,使=+t.试利用该定理解答下列问
7、题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设=x+y,则x+y=_.【解析】因为点B,M,F三点共线,则存在实数t,使=(1-t)+t.又=2,=,则=2(1-t)+.因为点C,M,E三点共线,则2(1-t)+=1,所以t=.故x=,y=,x+y=.答案:【补偿训练】若=t(tR),O为平面上任意一点,则=_.(用,表示)【解析】=t,-=t(-),=+t-t=(1-t)+t.答案:(1-t)+t四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量,;(2)求
8、证:B,E,F三点共线.【解析】(1)因为=(+)=(a+b),所以=(a+b),因为=b,所以=-=-a+b.(2)由(1)知=-a+b,=+=+=+=-a+b=,所以=.所以与共线.又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.10.如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示,和;(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且|=2,求|的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因为,所以=4a0,则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;
9、因为ADBC,所以OAOC=ADBC=23,则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.(2)由题意知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得|的最大值和最小值分别应该为8和4.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,(0,+),则P点的轨迹所在直线一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选C.设BC中点为点M,则=,则有=+,即=,所以P点的轨迹所在直线一定通过ABC的重心.【补偿训练】O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选B.如图,为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为BAC的平分线的方向.又0,+),所以的方向与+的方向相同.=+,所以点P在上移动.所以P的轨迹一定通过ABC的内心.
