1、课后提升作业 六球的体积和表面积(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016杭州高二检测)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()A.2倍B.2倍C.倍D.倍【解析】选B.设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍.2.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()A.B.C.D.4【解析】选B.根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=1，所以V=r3=.3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A.43B.31C.32D.94【解析】选C.作圆锥的轴截
2、面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h=3R，圆锥底面半径r=R，则l=2R，所以=.【延伸探究】本题条件不变，求圆锥的体积与表面积之比.【解析】设球的半径为R，则圆锥的高为h=3R，圆锥底面半径r=R，所以=.4.已知某球的大圆周长为c，则这个球的表面积是()A.B.C.D.2c2【解析】选C.设球的半径为r，则2r=c，所以r=，所以球的表面积为S=4r2=4=.5.(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.由正视图和俯视图知，该几何体
3、是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为4r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20，解得r=2.6.把半径分别为6cm，8cm，10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A.3cmB.6cmC.8cmD.12cm【解析】选D.由R3=63+83+103，得R3=1728，检验知R=12.7.(2016上饶高二检测)空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.【解析】选A.该几何体是一个圆柱和一个正方体的
4、组合体，作出该几何体与其外接球的轴截面如图所示：则R2=x2+1=(2-x)2+，解得：x=，R2=x2+1=，故该几何体的外接球的表面积S=4R2=.8.(2014湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径.【解析】选B.由三视图画出直观图如图，判断这个几何体是底面边长为6，8，10的直角三角形，高为12的水平放置的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半
5、径为r=2，这就是得到的最大球的半径.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016广州高一检测)已知高与底面直径之比为21的圆柱内接于球，且圆柱的体积为500，则球的体积为_.【解析】设圆柱的底面半径为r，则高为4r，由题意知r24r=500，则r=5，设球的半径为R，则R2=r2+4r2=125，所以R=5，故V球=(5)3=答案：10.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方
6、体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4=3.答案：3三、解答题11.(10分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.【解析】两半球的表面积为S1=4r2=4，圆柱的侧面积为S2=2rl=213=6，故该组合体表面积为4+6=10，两半球的体积为V1=r3=，圆柱的体积为V2=r2l=123=3，故该几何体的体积为V1+V2=+3=.【补偿训练】1.有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各
7、个顶点，若正方体的棱长为a，求这三个球的表面积.【解析】(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r1=a，r1=，所以S1=4=a2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，所以有2r2=a，r2=a，所以S2=4=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3=a，r3=a，所以S3=4=3a2.2.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.【解析】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=(r)23r-r3=r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V=h=h3，由V=V，得h=r，即容器中水的深度为r.
