1、1(2019吉林长春二模)已知函数f(x)axln x(aR)(1)若a2，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)x22x2，若对任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)0)，f(1)213，所以斜率k3，又切点(1,2)，所以切线方程为y23(x1)，即3xy10，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy10.(2)f(x)a(x0)，当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)当a0，在区间上，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)由已知，转化为f(x)max2，故不符合
2、题意)当a1ln(a)，解得a0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在区间(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)n0时，证明：mennnemm.解析：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)(axa1)ex，当a0时，f(x)ex0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得x.此时f(x)的单调递减区间为，单调增区间为.当a0，得x；由f(x).此时f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(2)证明：当mn0时，要证：me
3、nnnemm，只要证：m(en1)，(*)设g(x)，x0，则g(x)，x0，设h(x)(x1)ex1，由(1)知h(x)在0，)上单调递增，所以当x0时，h(x)h(0)0，于是g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以当mn0时，(*)式成立，故当mn0时，menn1，当x(1，x0)时，恒有f(x)2xk(x1)成立，求k的取值范围解析：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，)f(x)a，f(1)1a0，a1，f(x)1，令f(x)0得0x1，令f(x)1，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)不等式f(x)2xk(x1)可化为ln xxk(x1)令g(x)ln xxk(x1)(x1)，则g(x)x1k，令h(x)x2(1k)x1，x1，h(x)的对称轴为x，当1时，即k1，易知h(x)在(1，x0)上单调递减，h(x)h(1)1k，若k1，则h(x)0，g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递减，g(x)g(1)0，不合题意若1k0，必存在x0使得x(1，x0)时g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递增，g(x)g(1)0恒成立，符合题意当1时，即kh(1)1k0，g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递增g(x)g(1)0恒成立，符合题意综上，k的取值范围是(，1)
