1、2017年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|1x2，B=x|x23x+2=0，则AB等于（）Ax|1x2B（1，2）C1，2D2已知i是虚数单位，则满足zi=|1+2i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量与不共线，（m，nR），则与共线的条件是（）Am+n=0Bmn=0Cmn+1=0Dmn1=04已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=2cosx，动直线x=t与f（x）和g（x）的图象分别交于A、B两点，则|AB|的取值
2、范围是（）A0，1B0，C0，2D1，5在边长为2的正方形ABCD内部取一点M，则满足AMB为锐角的概率是（）ABCD6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，无宽，高1丈现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D8立方丈7图中阴影部分的面积S是h的函数（0hH），则该函数的大致图象是（）ABCD8已知A（5，3），F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的动点，则PAF周
3、长的最小值为（）A9B10C11D159按如图所示的程序框图，若输入a=110101，则输出的b=（）A53B51C49D4710将长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体ABCD，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A3B5C10D2011已知数列an是等差数列且满足a1=1，a3=7，设Sn为数列（1）nan的前n项和，则S2017为（）A3025B3024C2017D970312设函数f（x）的定义域为D，若满足条件：存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域为，则称f（x）为“倍缩函数”若函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A（，ln21）
4、B（，ln21C（1ln2，+）D1ln2，+）二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13已知是第二象限的角，且sin（+）=，则tan2的值为14已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为15已知双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，则双曲线C的渐近线方程为16意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n1）+F（n2）（n3，nN*），此数列在现代物理
5、、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn，b2017=三、解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC中，D为BC上一点，DAC=，cosBDA=，AC=4（ I）求AD的长；（ II）若ABD的面积为14，求AB的长18“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值和方差（不要求计算出
6、具体值，得出结论即可）；（）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成下列22列联表，并据此样本分析你是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关 认可 不认可 合计 A城市 B城市 合计P（2k）0.050.010k3.8416.635（参考公式：）（）在A和B两个城市满意度在90分以上的用户中任取2户，求来自不同城市的概率19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAD=PAB，AC交BD于O，（ I）求证：平面PAC平面PBD（ II）延长BC至G，使BC=CG，连结PG，DG试在棱PA上确定一点E，使PG平面
7、BDE，并求此时的值20已知椭圆C：（ab0）的离心率，且与直线l：y=x+3相切（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆上点A（2，1）作椭圆的弦AP，AQ，若AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？21已知f（x）=ex+ax（aR）（ I）求f（x）的单调区间；（ II）已知常数ae，求证：对于x（1，+），都有f（x）（x1）2恒成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极
8、坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值选修4-5：不等式选讲23已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|x+b|（）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+10；（）求证：f（1）f（c）16abc2017年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合A=x|1x2，B=x|x23x+2=0，则AB等于（）Ax|1x2B（1，2）C1，2D【考点】1E：交集及其运算【分析】先解方程，再根据交
9、集的定义即可求出【解答】解：由x23x+2=0得x=1或x=2 则B=x|x=1或x=2A=x|1x2，AB=1，2故选C2已知i是虚数单位，则满足zi=|1+2i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数模的计算公式、几何意义即可得出【解答】解：由zi=|1+2i|得复数z在复平面上对应点（，1）所在的象限为第一象限故选：A3已知向量与不共线，（m，nR），则与共线的条件是（）Am+n=0Bmn=0Cmn+1=0Dmn1=0【考点】96：平行向量与共线向量【分析】根据共线向量的共线，得到关于mn
10、的关系即可【解答】解：由，共线，得，即mn1=0，故选：D4已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=2cosx，动直线x=t与f（x）和g（x）的图象分别交于A、B两点，则|AB|的取值范围是（）A0，1B0，C0，2D1，【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】由【解答】解：由题意得：|AB|=故选B5在边长为2的正方形ABCD内部取一点M，则满足AMB为锐角的概率是（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】由AMB为锐角得M位于半圆外，根据几何概型的概率公式进行求解即可得到结论【解答】解：由AMB为锐角得M位于半圆外，由面积比可得故选D6九章算术是
11、我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，无宽，高1丈现给出该楔体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（）A4立方丈B5立方丈C6立方丈D8立方丈【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】作出几何体的直观图，将几何体分解成两个四棱锥和一个三棱柱计算体积【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3，四棱锥的体积V2=1，由三视图
12、可知两个四棱锥大小相等，V=V1+2V2=5故选：B7图中阴影部分的面积S是h的函数（0hH），则该函数的大致图象是（）ABCD【考点】67：定积分；3O：函数的图象【分析】此选择题方便利用排除法求解首先确定当h=H时，阴影部分面积为0，排除C与D，又由当h=时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，排除D，从而得到答案C【解答】解：当h=H时，对应阴影部分的面积为0，排除C与D；当h=时，对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，减少的幅度不断变小，排除A排除A，从而得到答案B故选B8已知A（5，3），F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的动点，则PAF周长的
13、最小值为（）A9B10C11D15【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的简单性质，转化求解即可【解答】解：F是抛物线y2=4x的焦点（1，0），A（5，3）在抛物线内部，FA是定值，FA=5P是抛物线上的动点，则（|PA|+|PF|）min=6PAF周长的最小值为：6+5=11故选：C9按如图所示的程序框图，若输入a=110101，则输出的b=（）A53B51C49D47【考点】EF：程序框图【分析】根据题意模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出b=120+021+122+023+124+125的值，从而计算得解【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并
14、输出b=120+021+122+023+124+125的值，由于：b=120+021+122+023+124+125=53故选：A10将长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体ABCD，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A3B5C10D20【考点】LR：球内接多面体【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外接球的球心O为AC中点，半径，所求四面体ABCD
15、的外接球的表面积为4（）2=5故选B11已知数列an是等差数列且满足a1=1，a3=7，设Sn为数列（1）nan的前n项和，则S2017为（）A3025B3024C2017D9703【考点】8F：等差数列的性质【分析】求出数列的通项，利用并项求和，可得结论【解答】解：由题意，d=3，an=1+3（n1）=3n2，a2n1+a2n=32n23（2n1）2=3数列（1）nan的前2017项和310086049=3025故选A12设函数f（x）的定义域为D，若满足条件：存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域为，则称f（x）为“倍缩函数”若函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
16、（）A（，ln21）B（，ln21C（1ln2，+）D1ln2，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】由题意，函数f（x）在a，b上的值域是，且是增函数；可以转化为方程lnx+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围【解答】解：函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，f（x）在a，b上是增函数；，即在（0，+）上有两根，即y=t和g（x）=lnx在（0，+）有2个交点，g（x）=，令g（x）0，解得：x2，令g（x）0，解得：0x2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故g（x）g（2）=1ln2，故
17、t1ln2，故选C：二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13已知是第二象限的角，且sin（+）=，则tan2的值为【考点】GU：二倍角的正切【分析】利用诱导公式化简已知的sin（+），即可求出sin的值，然后根据是第二象限的角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos的值，进而求出tan的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tan的值代入即可求出值【解答】解：由sin（+）=，得sin=，是第二象限的角，cos=，从而得tan=，tan2=故答案为：14已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值为2【考点】7C：简单线性规划【
18、分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求出最小值【解答】解：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，由，解得x=2y=4，即点A（24），当目标函数z=2x+y经过点A时，取得最小值，此时最小值为zmin=22+（4）=2故答案为：215已知双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，则双曲线C的渐近线方程为【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合【分析】利用双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，考查方程然后求解即可【解答】解：双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原
19、点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若，且，可得（a，0）到直线bxay=0的距离，解得：，双曲线的渐近线方程为：给答案为：16意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n1）+F（n2）（n3，nN*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn，b2017=1【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周
20、期为8，即可求出答案【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn，则bn，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，其周期为8，故b2017=b2278+1=b1=1，故答案为：1三、解答题：（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC中，D为BC上一点，DAC=，cosBDA=，AC=4（ I）求AD的长；（ II）若ABD的面积为14，求AB的长【考点】HP：正弦定理【分析】（ I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦函数公式可
21、求sinC，进而利用正弦定理即可求得AD的值（ II）由已知及三角形面积公式可求BD的值，进而利用余弦定理可求AB的值【解答】（本小题满分12分）解：（ I），=，由正弦定理得，即，得AD=7；（ II），得BD=5，由余弦定理得，18“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值和方差（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，
22、否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成下列22列联表，并据此样本分析你是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关 认可 不认可 合计 A城市 B城市 合计P（2k）0.050.010k3.8416.635（参考公式：）（）在A和B两个城市满意度在90分以上的用户中任取2户，求来自不同城市的概率【考点】BL：独立性检验【分析】（）根据茎叶图，即可比较两城市满意度评分的平均值和方差；（）求出2，与临界值比较，即可得出结论；（）利用列举法确定基本事件，即可求出来自不同城市的概率【解答】解：（）A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值； A城市评分的方差大于B城市评分的方差；
23、（）22列联表 认可 不认可 合计 A城市5 1520 B城市10 10 20 合计 15 2540 所以认为有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车无关 （） 设事件M=“来自不同城市”，设A城市的2户记为a，b，B城市的4户记为c，d，e，f，其中从中任取2户的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种 其中事件M“来自不同城市”包含的基本事件为，（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b
24、，f）共8种，所以事件M“来自不同城市”的概率是19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAD=PAB，AC交BD于O，（ I）求证：平面PAC平面PBD（ II）延长BC至G，使BC=CG，连结PG，DG试在棱PA上确定一点E，使PG平面BDE，并求此时的值【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（ I）只需证明POBD，ACBD，可得BD平面PAC，即可证平面PAC平面PBD（ II）连接AG交BD于M，在PAG中，过M作MEPG交PA于E，连接ED和EB，可得ADMBGM，PGME，得，即 =【解答】解：（ I）PAD=PAB，AD=AB，PADPAB
25、，得PB=PD，O为BD中点，POBD，底面ABCD为菱形，ACBD，ACPO=O，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PAC平面PBD（ II）连接AG交BD于M，在PAG中，过M作MEPG交PA于E，连接ED和EB，PG平面BDE，ME平面BDE，PG平面BDEADBG，BG=2AD，ADMBGM，PGME，即 =20已知椭圆C：（ab0）的离心率，且与直线l：y=x+3相切（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆上点A（2，1）作椭圆的弦AP，AQ，若AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（）由
26、离心率可得 a2=2b2，椭圆C与直线l相切，由，得3x2+12x+182b2=0，=14443（182b2）=0，得b2=3，a2=6，可得椭圆方程（）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQMN，所以kPQ=kMN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t26=0由题意可知，利用韦达定理可计算【解答】解：（）， 即a2=2b2由，得3x2+12x+182b2=0，=14443（182b2）=0，得b2=3，a2=6，所以椭圆方程为（）设直线PQ的方程y=x+t，联立方程组得3x2+4tx+2t26=0的两根为P（x1，y1），Q（x2，y2），由
27、题意得，由题意可知PQMN，所以kPQ=kMN=1，=，所以OM，ON斜率之和是为定值021已知f（x）=ex+ax（aR）（ I）求f（x）的单调区间；（ II）已知常数ae，求证：对于x（1，+），都有f（x）（x1）2恒成立【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）设g（x）=f（x）（x1）2=ex+axx2+2x1，求出函数的导数，设h（x）=ex+a2x+2，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）f（x）=ex+a当a0时，因为f（x）0，所以f（x）在（，+）上单增，当
28、a0时，令f（x）=0，得x=ln（a），f（x）在（，ln（a）上单减，在（ln（a），+）上单增，综上：当a0时，增区间为（，+）；当a0时，减区间为（，ln（a），增区间为（ln（a），+）（）证明：设g（x）=f（x）（x1）2=ex+axx2+2x1，g（x）=ex2x+a+2，设h（x）=ex+a2x+2，h（x）=ex20在（1，+）上恒成立，h（x）在（1，+）单调递增，h（x）h（1）=e+a0，g（x）0在（1，+）恒成立，即g（x）在（1，+）上单调递增，g（x）g（1）=e+a0，所以对x（1，+），都有f（x）（x1）2恒成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果
29、多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程利用变换公式代入即可得出曲线C的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程（II）点直角坐标是，将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系即可得出【解答】解
30、：（），将，代入C的普通方程可得x2+y2=1，即C：x2+y2=1，所以曲线C的极坐标方程为 C：=1（）点直角坐标是，将l的参数方程代入x2+y2=1，可得，t1+t2=，t1t2=，所以 选修4-5：不等式选讲23已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|x+b|（）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+10；（）求证：f（1）f（c）16abc【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法【分析】（）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|x1x+1（x+1）（x+3）x1，即可得出结论；（）利用基本不等式与不等式的性质证明f（1）f（c）16abc【解答】解：（）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|x1x+1（x+1）（x+3）x1x（4，2），解集为 （4，2）（）a，b，c为正数，所以有2017年6月3日
