1、第 3 讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 AxByC 所得到实数的符号都 01 相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由 Ax0By0C 的 02 符号即可判断 AxByC0 表示直线 AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划中的基本概念名称定义约束条件由变量 x，y 组成的 03 不等式(组)线性约束条件关于 x，y 的 04 一次不等式(或等式)目标函数关于 x，y 的 05 函数解析式，如 z2x3y 等线性目标函数关于 x，y 的 0
2、6 一次解析式可行解满足 07 线性约束条件的解(x，y)可行域所有 08 可行解组成的集合最优解使目标函数取得 09 最大值或 10 最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求 11 线性目标函数的最大值或最小值问题1点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.2画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 1不等式组x3y60，xy20表示的平面
3、区域是()答案 C解析 由 xy20，得 yx2，故表示直线 yx2 的下方(包括边界)，由 x3y6x6，故表示直线 x3y60 的上方(不包括边界)，故选C.2已知点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围为()A(7,24)B(，7)(24，)C(24,7)D(，24)(7，)答案 A解析 由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7)(a24)0，所以7a24.3(2019浙江高考)若实数 x，y 满足约束条件x3y40，3xy40，xy0，则 z3x2y 的最大值是()A1 B1C10 D12答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以 A(1
4、,1)，B(1，1)，C(2,2)为顶点的ABC 区域(包含边界)作出直线 y32x并平移，知当直线 y32xz2经过 C(2,2)时，z 取得最大值，且zmax322210.故选 C.4若 x，y 满足约束条件x0，xy30，x2y0，则 zx2y 的取值范围是()A0,6 B0,4C6，)D4，)答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线 y12xz2过点 A(2,1)时，z 取得最小值，即 zmin2214.所以 zx2y 的取值范围是4，)故选 D.5(2019广州模拟)若实数 x，y 满足x2y30，yx1，则 zx2y2的最小值为()A3 B.5
5、C.3D.2答案 D解析 作出不等式组x2y30，yx1表示的平面区域如图中阴影部分所示zx2y2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即 z 的最小值为 2.故选 D.6(2019北京高考)若 x，y 满足x2，y1，4x3y10，则 yx 的最小值为_，最大值为_答案 3 1解析 作出 x，y 满足的平面区域如图中阴影部分所示设 zyx，则 yxz.把 z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线 yxz 的纵截距，通过图象可知，当直线 yxz 经过点 A(2,3)时，z 取得最大值，此时 zmax321.当经过点 B(2，1)
6、时，z 取得最小值，此时 zmin123.核心考向突破考向一 二元一次不等式(组)表示平面区域 例 1(1)若满足条件xy0，xy20，ya的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为()A3 B2 C1 D0答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当 a0 时，平面区域内只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a1 时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5 个整点，共 9 个整点，故选 C.(2)不等式组y0，xy10，3x2y60表示的平面区域的面积等于_答案 32解析
7、不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知 A(1,0)，B(2,0)，由xy10，3x2y60，得 C(4,3)SABC12AB|yc|121332.(1)确定 AxByC0 表示的区域有两种方法：试点法，一般代入原点；化为 ykxb(ykxb)的形式不等式 ykxb 表示的区域为直线 ykxb及其上方，不等式 ykxb 表示的区域为直线 ykxb 及其下方(2)可行域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可利用 xm 逐条分段统计即时训练 1.(2019郑州模拟)已知不等式组xy10，xy10，3xy30表示的平面区域为 D，若直线 ykx1 将区域 D 分成面
8、积相等的两部分，则实数 k 的值是_答案 13解析 区域 D 如图中的阴影部分所示，直线 ykx1 经过定点 C(0,1)，如果其把区域 D 划分为面积相等的两个部分，则直线 ykx1 只要经过 AB 的中点即可由方程组xy10，3xy30，解得 A(1,0)由方程组xy10，3xy30，解得 B(2,3)所以 AB 的中点坐标为32，32，代入直线方程 ykx1 得，3232k1，解得 k13.2若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_答案(0,143，解析 不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域如图所示(阴影部分)由yx，2xy2，得
9、A23，23；由y0，2xy2，得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 xya 中的 a的取值范围是 00 时将直线上移 z 变大，当 b0 时将直线下移 z 变大即时训练 3.(2019全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，作出直线 y3x，并平移，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.角度 2 求非线性目标函数的最值例 3(2019重庆一
10、中模拟)已知实数 x，y 满足xy10，xy30，3xy50，则 zy12x 的最大值为_答案 56解析 画出约束条件xy10，xy30，3xy50表示的可行域如图中阴影部分所示因为 zy1x 表示可行域内的点 P(x，y)与点 A(0，1)连线的斜率，由xy10，3xy50，得直线交点为 B(3,4)，所以当 P在点 B(3,4)时，zy1x 有最大值413 53，因此 zy12x 的最大值为56.目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离(2)
11、yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率即时训练 4.(2019辽宁五校联考)已知 a，b 是正数，且满足 2a2b0，b0，2a2b1 时，直线 ymxz 过点 B 时纵截距最小，从而 z 最小，由xy10，xy20，得x12，y32，B12，32.由12m323 得 m9 与 m1 矛盾综上可知，m23.考向三 线性规划中的实际应用问题例 5(2019安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件甲、乙两种产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备 6 小
12、时；生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B设备 1 小时A，B 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为()A320 千元B360 千元C400 千元D440 千元答案 B解析 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润 z 千元，则2x3y480，6xy960，x，yN，z2xy，作出x0，y0，2x3y480，6xy960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 2xy0，平移该直线，当直线 z2xy 经过直线 2x3y480 与直线 6xy960 的交点(150,60)(满足 xN，yN)时，z 取得最大值，
13、为 360.解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈即时训练 6.某中学生在制作纸模过程中需要 A，B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得 A，B 两种规格的小卡纸的块数如下表，现需 A，B 两种规格的小卡纸分别为 4,7 块，所需甲、乙两种大小不同的
14、卡纸的张数分别为 m，n(m，n 为整数)，则 mn 的最小值为()A 规格B 规格甲种卡纸21乙种卡纸13A2 B3 C4 D5答案 B解析 由题意知2mn4，m3n7，m0，n0，m，nN，又不等式组2mn4，m3n7，m0，n0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数 zmn 在点(1,2)处取得最小值 3.故选 B.(2019北京西城区模拟)x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1 B2 或12C2 或 1 D2 或1答案 D解析 作出可行域(如图阴影部分)，为ABC 内部(含边界)由题设 z
15、yax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由 kAB1，kAC2，kBC12可得 a1 或 a2 或 a12，验证：a1 或 a2 时，成立；a12时，不成立故选 D.答题启示若目标函数所表示的直线正好与可行域的某一条边界平行，且可行域的边界是可以取到的，此时目标函数取得的最优解就有无穷多个，求解时注意分类讨论的思想对点训练已知变量 x，y 满足约束条件x4y130，2yx10，xy40，且有无穷多个点(x，y)使目标函数 zxmy 取得最小值，求 m 的值解 作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若 m0，则 zx，目标函数 zxmy 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若 m0，则目标函数 zxmy 可看作斜率为1m的动直线 y1mx zm，若 m0，数形结合知使目标函数 zxmy 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若 m0，则1m0，数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时，在线段 AB上有无穷多个点(x，y)，使目标函数 zxmy 取得最小值，即1m1，则 m1.综上可知，m1.
