1、考点规范练47直线与圆锥曲线一、基础巩固1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A.12B.-12C.2D.-22.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3C.6D.83.已知直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.3D.24.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若AOB的面积为6,则|A
2、B|=()A.6B.8C.12D.165.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则ABG的面积为()A.839B.1639C.3239D.64396.已知过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.7.设过抛物线y2=2px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p0)的另一个交点为Q,则SABQSABO=.8.已知双曲线与椭圆x29+
3、y23=1有相同的焦点,且以x+2y=0为其一条渐近线,则双曲线方程为,过其右焦点且长为4的弦有条.9.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.二、能力提升10.已知椭圆x216+y24=1,过其右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()A.1B.2C.3D.211.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,双曲线C
4、的一条渐近线为l,以F为圆心的圆与l相交于M,N两点,MFNF,O为坐标原点,OM=ON(25),则双曲线C的离心率的取值范围是()A.52,2B.52,133C.103,133D.103,34512.(多选)已知B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)短轴的两个端点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个结论正确的是()A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2B.PB1PB20C.PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22aD.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线13.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为
5、k的直线与抛物线C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.14.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=2,ms+nt=9,当s+t取最小值49时,m,n对应的点(m,n)是双曲线x24-y22=1一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为.15.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0,b0)的左、右焦点,双曲线C的离心率为2,点1,32在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为42.(1)求动点P的轨迹方程;(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点
6、M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在圆x2+y2=2上,求|OG|MN|的最大值,并判断此时OMN的形状.17.已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,双曲线x24-y2=1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为102.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点D,M,N为椭圆C上的动点,M,O,N三点共线,直线DM,DN的斜率分别为k1,k2.证明:k1k2=-14;若k1+k2=0,设直线DM过点(0,m),直线DN过点(0,n),证明:m2+n2为定值.三、探究创新18.已知F1,F2为椭圆E:x2a2+y2b2=1(
7、ab0)的左、右焦点,点P1,233在椭圆上,且过点F2的直线l交椭圆E于A,B两点,AF1B的周长为43.(1)求椭圆E的方程;(2)我们知道抛物线有性质:“过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦AB满足|AF|+|BF|=2p|AF|BF|.”那么对于椭圆E,是否存在实数,使得|AF2|+|BF2|=|AF2|BF2|成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.考点规范练47直线与圆锥曲线1.B设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(
8、y1-y2)9=0,所以2(x1-x2)9=-4(y1-y2)9,所以k=y1-y2x1-x2=-12.故选B.2.C由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则y02=31-x024(-2x02).因为OP=(x0,y0),FP=(x0+1,y0),所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2.因为-2x02,所以当x0=2时,OPFP取得最大值,最大值为6.3.D设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),把A,B两点坐标分别代入双曲线C的方程,得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两
9、式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又x0=x1+x22,y0=y1+y22,所以x0a2=y0(y1-y2)b2(x1-x2),所以b2a2=y0(y1-y2)x0(x1-x2)=kOMkl=1,所以e2=1+b2a2=2,又e1,所以e=2.4.A由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),易知当直线AB垂直于x轴时,AOB的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k0),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=4k,y1y2=-4,所以|y1-y2|
10、=16k2+16,所以AOB的面积为12116k2+16=6,解得k=2,所以|AB|=1+1k2|y1-y2|=6.5.C设A(x1,y1),B(x2,y2),AF=3FB,y1=-3y2.设直线l的方程为x=my+1,由y2=4x,x=my+1消去x,得y2-4my-4=0,y1y2=-4,y1=23,y2=-233,y1+y2=4m=433,m=33.x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233.过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,即G113,0,SABG=12113-123+233=3239.6.(1,5)由题意得ba2,e=c
11、a=a2+b2a21,1e5,此双曲线离心率的取值范围为(1,5).7.3设直线OP的方程为y=kx(k0),由y=kx,y2=2px,解得P2pk2,2pk,由y=kx,y2=8px,解得Q8pk2,8pk,|OP|=4p2k4+4p2k2=2p1+k2k2,|PQ|=36p2k4+36p2k2=6p1+k2k2,SABQSABO=|PQ|OP|=3.8.x24-y22=13由双曲线与椭圆x29+y23=1有相同的焦点,可设双曲线的方程为x2a2-y26-a2=1,又双曲线以x+2y=0为其一条渐近线,所以6-a2a2=12,解得a2=4.所以双曲线的方程为x24-y22=1.右焦点坐标为(
12、6,0),当过右焦点的直线垂直于x轴时,代入双曲线方程得y=1,则弦长为20)的直线方程为my=x-23,其中m=1k.设A(x1,y1),B(x2,y2).由my=x-23,x216+y24=1消去x,得(4+m2)y2+43my-4=0.y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.AF=3FB,-y1=3y2.联立方程组y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2,-y1=3y2,消去y1,y2得m2=12,1k2=12,即k2=2.又k0,k=2.11.C不妨令直线l的方程为y=bax,设|MF|=|NF|=r,取Q为MN的中点,由题意可知MNF为等腰直角三角形,则FQ
13、MN,|FQ|=|NQ|=|MQ|=2r2.在RtOFQ中,tanFOQ=|FQ|OQ|=ba,|OQ|=ar2b.|ON|=|OQ|-|NQ|=r2a-bb,|OM|=|OQ|+|MQ|=r2a+bb.又OM=ON(25),r2a+bb=r2a-bb,整理得=a+ba-b2,5,2a3b,a3b,即4a29b2,a29b2,即4a29(c2-a2),a29(c2-a2),解得109c2a2139.103e133.12.BC如图,设P(x0,y0),则x02a2+y02b2=1,kPB1kPB2=y0+bx0y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,A不正确.点P在圆x2+y2=b2外,x
14、02+y02-b20,PB1PB2=(-x0,-b-y0)(-x0,b-y0)=x02+y02-b20,B正确.如图,当点P在长轴的顶点A上时,B1PB2最小且为锐角,设PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsinB1PB22bsinB1AB2=2bsin2OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a.ra2+b22a,PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确.直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2-x02x2,可化为y2b2-x2a2=1,点P不与点B1,B2重合,点M的轨迹为双曲
15、线的一部分,D不正确.13.2由题意知抛物线C的焦点为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k0),由y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2(x-1)2=4x,即k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.由y=k(x-1),y2=4x,消去x得y2=41ky+1,即y2-4ky-4=0,则y1+y2=4k,y1y2=-4.因为AMB=90,所以有MAMB=(x1+1,y1-1)(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=2k2+
16、4k2,x1x2=1与y1+y2=4k,y1y2=-4代入,得k=2.14.x-2y+1=0由已知得s+t=19(s+t)ms+nt=19m+n+mts+nst19(m+n+2mn)=19(m+n)2.因为s+t的最小值是49,所以19(m+n)2=49,m+n=2,又m+n=2,所以m=n=1.设以点(1,1)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则有x1+x22=y1+y22=1,即x1+x2=y1+y2=2.又该两点在双曲线上,则有x124-y122=1,x224-y222=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)4-(y1+y2)(y1-y2)2=0.由得y
17、1-y2x1-x2=12,即所求直线的斜率是12,所以所求直线的方程是y-1=12(x-1),即x-2y+1=0.15.解(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,得a=3,b=2.所以椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2x10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x
18、2=63k+2.由x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x2=-90,b0,a=12,c=1.由题意易知四边形PF1QF2为平行四边形.|PF1|+|PF2|=222,动点P的轨迹是以点F1,F2分别为左、右焦点的椭圆(除左、右顶点),动点P的轨迹方程为x22+y2=1(y0).(2)x12+x22=2,x122+y12=1,x222+y22=1,y12+y22=1.|OG|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2x1+x222+y1+
19、y222=123-2x1x2-2y1y23+2x1x2+2y1y2123-2x1x2-2y1y2+3+2x1x2+2y1y22=32,当3-2x1x2-2y1y2=3+2x1x2+2y1y2,即x1x2+y1y2=0时取等号,所以|OG|MN|的最大值为32,此时OMON,即OMN为直角三角形.17.(1)解设椭圆的半焦距为c,由题意可得e=ca=1-b2a2=32,所以a=2b.因为双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=12x,所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t,t),所以t2+(2t)2=102,即t2=12.因为点P在椭圆上,所以4t2a2+t2b2=1,即2a2
20、+12b2=1.由可得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明由题意可得点M,N关于原点对称,可设点D(x1,y1),M(x2,y2),N(-x2,-y2),因为点D,M在椭圆上,所以x124+y12=1,x224+y22=1,所以y12=1-x124,y22=1-x224,所以k1k2=y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=y12-y22x12-x22=1-x124-1-x224x12-x22=-14.可设k10,k20,y20,则|AF2|=(x1-1)2+y12=(my1+1-1)2+y12=m2+1|y1|=m2+1y1.同理|BF2|=m2+1|y2|=-m2+1y2.所以1|AF2|+1|BF2|=1m2+1y1+1-m2+1y2=1m2+11y1-1y2=1m2+1y2-y1y1y2=1m2+1-|y2-y1|y1y2=1m2+1-16n2+16(2m2+3)2m2+3-42m2+3=1m2+143(m2+1)4=3,即|AF2|+|BF2|=3|AF2|BF2|.所以存在实数=3,使得|AF2|+|BF2|=|AF2|BF2|成立.
