1、年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题数列的定义教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析数列一直是高考的重点和热点，有时甚至是难点历年来，数列在高考中的题型有如下特征：1每年必出一道选择题或填空题，主要考查等差、等比数列的概念和性质，以及通项公式、前n项和公式的灵活运用，题目具有“小、巧、活”的特点2每年必出一道解答题，题目往往与函数、导数、三角不等式、方程、平面向量、解析几何等知识综合起来考查，难度中等或中等偏难，突出考查对数列知识的理解、分析能力，创新能力，运算能力以及化归转化能力相对于理科的命题，文科更注重基本解法、基本能力的考查3从新考纲的要求来看，2012年高考仍将延续这些特征，
2、并将更侧重于考查学生的创新能力与逻辑思维能力三、复习建议针对新课标考试“强调基础，淡化技巧，提高能力”的特征，复习本单元时应注意以下几点：1重视对等差数列、等比数列的概念的理解，掌握它们的通项公式，前n项和公式及其性质2重视运算能力的提高，涉及的解不等式、解方程问题以及等式的相加减、相乘除等运算，力求熟练而准确3重视知识的综合，深刻领悟蕴藏在数列概念及方法中的数学思想，对其中的函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想要在解题中进行感受和体会四、知识讲解第一节 数列的概念与简单表示法（一）高考目标考纲解读1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)2了解数列是自变量为正
3、整数的一类函数考向预测1已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项2以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想3由数列的递推关系式求数列的通项公式的是本节重点，也是本节难点（二）课前自主预习知识梳理1数列的定义按照 排成的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )2数列与函数的关系在函数意义下，数列是定义域为N(或它的)的函数，f(n)是当自变量n从1开始依次取 时所对应的一列f(1)，f(2)，f(n)通常用an代替f(n)，故数列的一般形式为，简记为an，其中an是数列的第 项3数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数无穷数列项
4、数项与项间的大小关系递增数列 其中nN*递减数列 常数列an1an其他标准摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项4.数列的表示法(1)数列的一般形式可以写成： (2)数列的表示法分别为、 5数列的通项公式如果数列an的第n项an与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式6数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用an与an1的关系式表示(如an2an11，n1)，则这个关系式就称为数列的递推公式（三）基础自测1(2010安徽文)设数列n的前n项和Snn2，则a8的值为()A15B16 C49 D64答案A解析a8S8S7644915，a815
5、.2数列，的一个通项公式是()Aan(1)n1 Ban(1)nCan(1)n1 Dan(1)n答案C3若数列an(nN*)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an1)在直线xy20上，那么下列说法正确的是()A当且仅当n1时，Sn最小 B当且仅当n8时，Sn最大C当且仅当n7或8时，Sn最大 DSn有最小值，无最大值答案C解析由题意得：anan120，则an1an2，所以数列an是以a114，d2的等差数列，则Sn14n(2)n215n，所以当且仅当n7或8时，Sn最大4数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D.答案B解析S5 1.5将全体正整数排成一个三角形
6、数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为. 答案6已知数列an的首项a1，且满足5(nN*)，则a2012_.答案解析由5知，数列是以3为首项，以5为公差的等差数列，故2011d31005510058.7写出分别满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：(1)a10，an1an(2n1)(nN)；(2)a13，an13an(nN)解析(1)由条件得a10，a201112，a31(221)422，a44(231)932，归纳通项公式为an(n1)2.(2)由条件
7、得a13，a23a132，a33a233，a43a334，归纳通项公式为an3n.（四）典型例题1.命题方向：有数列的前几项探索数列的通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，；(2)1,3,6,10,15，；(3)，；(4)3,33,333,3333，.分析先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项之间的联系解析(1)注意到前四项中两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，因而有an.(2)注意到623,1025,1535，规律还不明显，再把各项同乘以2，即，因而有an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项
8、的分子分别比分母少3，因此把第1项变为，至此原数列已化为，an(1)n.(4)将数列各项改写为：，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，an(10n1)点评根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，解决这一问题的关键是通过观察、分析、比较去发现项与项之间的关系如果关系不明显，可将项适当变形，让规律突显出来以便于找出通项公式跟踪练习1：根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，(2)，(3)，；(4)，1，.(5)1,3,7,15,31，解析(1)将数列写成：，观察分子、分母与项数n之间的联系，易知：其通项公式为an.(2)这是一个与(1)n有关的数列，
9、可将数列写成，可知分母组成以3为公差的等差数列，分子为以3为首项，1为公差的等差数列，因此其通项公式为：an(1)n.(3)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(4)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律第1、2两项可改写为，所以an(1)n1.(5)考虑数列的差分数列an1ana2a12a3a24，a4a38，an2n1.(n2)将这n1个式子累加，得 an222232n12n2(n2) an2n21
10、2n22n1.(n2)当n1时，此式仍成立，故所求通项公式为an2n1.点评根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是惟一的其中常用方法是观察法观察an与n之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法.2.命题方向：由与的关系求通项例2已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)求an的通项公式及S10.解析(1)由a1S1(a11)得a1.又a1a2S2(a21)，解得a2.同理a3(2)n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得.数列an
11、是首项为，公比为的等比数列即an()n，S10.(2)n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得.数列an是首项为，公比为的等比数列即an()n，S10.点评数列的通项an与前n项和Sn的关系是：an.此公式经常使用，应引起重视当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示跟踪练习2：已知数列an的前n项和Sn，求an的通项公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.解析利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an.解(1)当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn14n5.又a11，适合，an4n5，an4n
12、5.(2)当n1时，a1S13b.n2时，anSnSn123n1，因此，当b1时，a12适合an23n1，an23n1.当b1时，a13b不合适an23n1，an.综上可知，当b1时，an23n1；当b1时，an3.命题方向：根据递推公式求通项公式例3根据下列条件，写出数列的通项公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1.分析(1)将递推关系写成n1个等式累加(2)将递推关系写成n1个等式累乘，或逐项迭代也可解析(1)当n1,2,3，n1时，可得n1个等式：anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得ana1123(n1)，ana12.(2)方法一：ana1n
13、1n221a112(n1)，an.方法二：由2n1anan1得ann1an1ann1an1n1n2an2=n1n21a1(n1)(n2)21.点评1.已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.2已知a1且f(n)(n2)，可以用“累乘法”，即f(n)，f(n1)，f(3)，f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.提醒：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个跟踪练习3：根据下列各个数列an的首项和
14、基本关系式，求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a11，anan1(n2)解析(1)anan13n1，anan13n1，an1an23n2，an2an33n3，a2a131.以上n1个等式两边分别相加得ana131323n113323n1.a2a1.以上n1个式子等式两边分别相乘得ana1.4.命题方向：函数与方程思想在数列中的应用例4已知数列an的通项公式an(n1)()n，求n为何值时，an取最大值分析已知数列an的通项公式，要求n为何值时an取最大值，则需满足.因为涉及an1，所以应先讨论a1是否为最大值，然后再由不等式组去求使an最大时n的取值解析易知a1不是数列
15、an中的最大的项，an若取最大值应满足(n2)，由已知中an(n1)()n，则有anan1(n1)()n(n2)()n1()nn1(n2)()n.由anan10，即()n0，解不等式，得n8；anan1(n1)()n(n11)()n1()n1(n1)n()n1，当anan10，即()n10，解不等式，得n9；同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8,9，又a89()8，a910()9，即a8a9.当n8或n9时，a8a9两项都是数列an中的最大项点评数列是特殊的函数，因此数列中一些问题的研究与函数有一定的联系如：数列中的最大、最小项问题；数列的单调性问题等都可以借助于函数知识研究，当然也有差别
16、高考对本考点的考查主要以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题的某一问中，主要同函数、不等式等内容结合，结合性较强，有一定的难度备考中应从函数的角度把握数列中最大、最小项的求法以及数列单调性的判断方法跟踪练习4：已知函数f(x)，数列an满足f()2n.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an是递减数列解析(1)解：f(x)， f(log2an)2log2an2log2anan，an2n，an22nan10.又an0，ann.(2)证明：an0，且ann，1.an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答
17、案B解析an1|an|，an1an0，且anan10，则an为递增数列，反之若an为递增数列，an1|an|不一定成立5(2011济南统考)已知数列an的通项公式an3n2(9a)n62a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是()A24,36 B27,33 Ca|27a33，aN* Da|24a36，aN*答案A解析由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需5.57.524a36即可6(2011上饶一模)已知数列an满足a10，an1an2n，那么a2012的值是()A20092010 B20112010 C20112 D20112012答案D
18、解析解法1：a10，a22，a36，a412，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：a101a212a323a434猜想a201220112012，故选D.解法2：anan12(n1)，an1an22(n2)，a3a222，a2a121.所有等式左右两边分别相加(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)2(n1)(n2)1ana12n(n1)ann(n1)故a201220112012.7若数列an是正项递增等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8T4，则当Tn取最小值时，n的值等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由T8T4，a5a6a7a81，又a5a8a6a7
19、1，且数列an是正项递增数列，所以a5a61a7a8，因此T6取最小值8数列an中，若an1，a11，则a2012等于()A. B. C. D.答案B解析an1，3.是以an1为首项，3为公差的等差数列，故1(n1)33n2，an，a2012.二、填空题9定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为5，Tn为数列an前n项的积，则T2005_.答案251002解析T2005a1(a2a3)(a4a5)(a2004a2005)251002.10设an是正项数列，其前n项和Sn满足
20、：4Sn(an1)(an3)，则数列an的通项公式an_.答案2n1解析4Snan22an3，当n2时，4Sn1an122an13.两式相减得4anan2an122an2an1，即(anan1)(anan12)0.又an0.anan12.当n1时，由4a1a122a13，得a13，故an3(n1)22n1.11已知an(nN*)，则在数列an的前30项中，最大项和最小项分别是第_项答案109解析an1当1n9时，0，an递减最大项为a10，最小项为a9.三、解答题12已知数列an满足：a11,4n1anan1(nN，n2)(1)求数列an的通项公式；(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于？解
21、析(1)ana1n1n22112(n1)n(n1)an()n(n1)(2)当n3时，(n1)n6，an()(n1)n当n4时，(n1)n10，an()(n1)n所以，从第4项开始各项均小于.13下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，记OA1，OA2，OA3，OA7，OA8的长度所成的数列为an(nN,1n8)(1)写出数列的前4项；(2)求an的通项公式；(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA9，OA2012的长分别是多少？解析(1)a1OA11，由勾股定理得a2，a3，a42；(2)观察an的前几项，可以发现数列的项恰好是序号的算术平方根，即有通
22、项公式an；(3)OA9a93，OA2012a20122.点评由归纳法，找出数列的通项公式，或由数列的通项公式写出数列的项，对数列做出某种判断，是高考命题的方向，此类题对逻辑推理能力有较高的要求14已知数列an的前n项和为n2pn，数列bn的前n项和为3n22n.(1)若a10b10，求p的值；(2)取数列bn的第1项，第3项，第5项，构成一个新数列cn，求数列cn的通项公式解析(1)由已知，anSnSn1(n2pn)(n1)2p(n1)2n1p(n2)，bnSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5(n2)a1019p，b1055.由a10b10，得19p55.p36.(2)b1S11，满足bn6n5.数列bn的通项公式为bn6n5.取bn中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k16(2k1)12n11.15(2010全国卷理)已知数列an中，a11，an1c.设c，bn，求数列bn的通项公式解析本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查an122，取倒数有2即bn14bn2，得bn14，又a11，故b11所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，即bn.
