1、A 级1(2017贵州省适应性考试)已知向量 a(2,4),b(1,1),c(2,3),若 ab 与 c 共线,则实数()A.25B25C.35D35解析:ab(2,4),c(2,3),因为 ab 与 c 共线,所以必定存在唯一实数,使得 abc,所以22,43解得65,25.答案:B2(2017安徽省两校阶段性测试)已知向量 a(m,1),b(m,1),且|ab|ab|,则|a|()A1B.62C.2D4解析:a(m,1),b(m,1),ab(2m,0),ab(0,2),又|ab|ab|,|2m|2,m1,|a|m212 2.故选 C.答案:C3在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 AB
2、CD 是平行四边形,AB(1,2),AD(2,1),则AD AC()A5B4C3D2解析:因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以ACABAD(1,2)(2,1)(3,1),所以AD AC23(1)15,故选 A.答案:A4(2017江西八校联考(一)在ABC 中,P,Q 分别是边 AB,BC 上的点,且 AP13AB,BQ13BC.若ABa,ACb,则PQ()A.13a13bB13a13bC.13a13bD13a13b解析:PQ PBBQ 23AB13BC23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b,故选 A.答案:A5已知平面向量 a,b 满足 a(ab)5,且|a|2,|b|1,
3、则向量 a 与 b 的夹角的正切值为()A.33B.3C 3D 33解析:a(ab)5,即 a2ab5ab1,所以 cosa,b ab|a|b|12,所以a,b3,则向量 a 与 b 的夹角的正切值为 3,故选 B.答案:B6(2017云南省第一次统一检测)在ABCD 中,|AB|8,|AD|6,N 为 DC 的中点,BM2MC,则AM NM()A48B36C24D12解析:AM NM(ABBM)(NC CM)AB23AD 12AB13AD 12AB 229AD 21282296224,故选 C.答案:C7(2017西安市八校联考)已知点 A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4)
4、,则向量CD 在BA方向上的投影是()A3 5B3 22C3 5D.3 22解析:依题意得,BA(2,1),CD(5,5),BACD(2,1)(5,5)15,|BA|5,因此向量CD 在BA方向上的投影是BACD|BA|155 3 5,选 A.答案:A8如图所示,下列结论正确的是()PQ 32a32b;PT32ab;PS32a12b;PR32ab.ABCD解析:根据向量的加法法则,得PQ 32a32b,故正确;根据向量的减法法则,得PT32a32b,故错误;PSPQ QS32a32b2b32a12b,故正确;PRPQ QR 32a32bb32a12b,故错误故选 C.答案:C9在ABC 中,M
5、 是 BC 的中点,AM4,点 P 在 AM 上,且满足AP3PM,则PA(PBPC)的值为()A4B6C6D4解析:依题意得|PA|34|AM|3,PBPC2PM 23PA,PA(PBPC)23PA223326,选 C.答案:C10(2017惠州市第三次调研考试)若 O 为ABC 所在平面内任一点,且满足(OB OC)(OB OC 2OA)0,则ABC 的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形解析:(OB OC)(OB OC 2OA)0,即CB(ABAC)0,ABACCB,(ABAC)(ABAC)0,即|AB|AC|,ABC 是等腰三角形,故选 A.答案:A11已知向量
6、 a,b 满足|a|1,(ab)(a2b)0,则|b|的取值范围为()A1,2B2,4C.14,12D.12,1解析:由题意知 b0,设向量 a,b 的夹角为,因为(ab)(a2b)a2ab2b20,又|a|1,所以 1|b|cos 2|b|20,所以|b|cos 12|b|2,因为1cos 1,所以|b|12|b|2|b|,所以12|b|1,所以|b|的取值范围是12,1.答案:D12(2017宝鸡市质量检测(一)在等腰直角ABC 中,ABC90,ABBC2,M,N(不与 A,C 重合)为 AC 边上的两个动点,且满足|MN|2,则BM BN的取值范围为()A.32,2B.32,2C.32,
7、2D.32,解析:以等腰直角三角形的直角边 BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图,则 B(0,0),直线 AC 的方程为 xy2.设 M(a,2a),则 0a1,N(a1,1a),BM(a,2a),BN(a1,1a),BM BNa(a1)(2a)(1a)2a22a2,0a1,当 a12时,BM BN取得最小值32,又BM BN2,故BM BN的取值范围为32,2.答案:C13(2017全国卷)已知向量 a(1,2),b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直,则 m_.解析:a(1,2),b(m,1),ab(1m,21)(m1,3)又 ab 与 a 垂直,(ab)a0,即(
8、m1)(1)320,解得 m7.答案:714(2017全国卷)已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|2,|b|1,则|a2b|_.解析:法一:|a2b|a2b2 a24ab4b222421cos 60412 122 3.法二:(数形结合法)由|a|2b|2,知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB,如图,则|a2b|OC|.又AOB60,所以|a2b|2 3.答案:2 315已知等边ABC 的边长为 2,若BC3BE,AD DC,则BD AE_.解析:如图所示,BD AE(AD AB)(ABBE)12ACAB AB13AC13AB 12ACAB 13AC23AB 16AC
9、 223AB 21642342.答案:216(2017天津卷)在ABC 中,A60,AB3,AC2.若BD 2DC,AEACAB(R),且AD AE4,则 的值为_解析:如图,由BD 2DC 得AD 13AB23AC,所以AD AE13AB23AC(ACAB)13ABAC13AB 223AC 223ABAC,又ABAC32cos 603,AB 29,AC 24,所以AD AE3832113 54,解得 311.答案:311B 级1在等腰梯形 ABCD 中,AB2CD,M 为 BC 的中点,则AM()A.12AB12ADB.34AB12ADC.34AB14ADD.12AB34AD解析:因为AB2
10、CD,所以AB2DC.又 M 是 BC 的中点,所以AM 12(ABAC)12(ABAD DC)12(ABAD 12AB)34AB12AD,故选 B.答案:B2已知向量 a(1,2),b(3,1),c(x,4),若(ab)c,则 c(ab)()A(2,12)B(2,12)C14D10解析:由题意可得,ab(4,1),由(ab)c,得(4)x140,即4x40,解得 x1,所以 c(1,4)而 ab(2,3),所以 c(ab)124314.故选 C.答案:C3设 P 是ABC 所在平面内的一点,且CP2PA,则PAB 与PBC 的面积的比值是()A.13B.12C.23D.34解析:CP2PA,
11、|CP|PA|21,又PAB 在边 PA 上的高与PBC 在边 PC 上的高相等,SPABSPBC|PA|CP|12.答案:B4已知向量 a(1,3),b(2,5)若向量 c 满足 c(ab),且 b(ac),则 c()A.118,3316B.118,3316C.118,3316D.118,3316解析:设 c(x,y),由 c(ab),得 c(ab)(x,y)(3,2)3x2y0,又 b(2,5),ac(1x,3y),且 b(ac),所以 2(3y)(5)(1x)0.联立,解得 x118,y3316,所以 c118,3316.故选 A.答案:A5已知 O 为坐标原点,向量OA(3sin,co
12、s),OB(2sin,5sin 4cos),32,2,且OA OB,则 tan 的值为()A43B45C.45D.34解析:由题意知 6sin2cos(5sin 4cos)0,即 6sin25sin cos 4cos20,上述等式两边同时除以 cos2,得 6tan25tan 40,由于 32,2,则 tan 0,n0),若 mn1,则|OC|的最小值为()A.52B.102C.5D.10解析:由OA(3,1),OB(1,3)得OC mOA nOB(3mn,m3n),因为 mn1(m0,n0),所以 n1m 且 0m1,所以 OC(12m,4m 3),则|OC|12m24m32 20m220m
13、1020m1225(0m1),所以当 m12时,|OC|min 5.答案:C9(2017吉林三模)已知平面向量 a,b 的夹角为 120,且 ab1,则|ab|的最小值为()A.6B.3C.2D1解析:由题意可知1ab|a|b|cos 120,所以 2|a|b|a|2|b|22,即|a|2|b|24,当且仅当|a|b|时等号成立,|ab|2a22abb2a2b22426,所以|ab|6,所以|ab|的最小值为 6.答案:A10(2017浙江卷)如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC 与 BD 交于点 O.记 I1OA OB,I2OB OC,I3OC OD,则()
14、AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I10,nm.从而DBC45,又BCO45,BOC 为锐角从而AOB 为钝角故 I10,I30.又 OAOC,OB1),OC 2OA(21),从而 I3OC OD 12OA OB 12I1,又 121,I10,I30,I3I1,I3I10,a11,则数列an的通项公式为 an()A32n12B2n1C3n1D23n11解析:因为BD 3DC,所以EnC EnB BCEnB 43BD EnB 43(BEn EnD)13EnB43EnD.设 m EnC EnA,则 由EnA 14 an 1 EnB (3an 2)EnD,得14an113m EnB 4
15、3m3an2 EnD 0,即13m14an1,43m(3an2),所以14an114(3an2),所以 an113(an1)因为 a112,所以数列an1是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,所以 an123n1,所以 an23n11.答案:D13(2017北京卷)已知点 P 在圆 x2y21 上,点 A 的坐标为(2,0),O 为原点,则AO AP的最大值为_解析:法一:AO AP表示AP在AO 方向上的投影与|AO|的乘积,当 P 在 B 点时,AO AP有最大值,此时AO AP236.法二:设 P(x,y),则AO AP(2,0)(x2,y)2x4,由题意知1x1,x1 时,AO AP
16、取最大值 6,AO AP的最大值为 6.答案:614在ABC 中,若(AB2AC)AB,(AC2AB)AC,则ABC 的形状为_解析:(AB2AC)AB(AB2AC)AB0,即ABAB2ACAB0.(AC2AB)AC,即(AC2AB)AC0,即ACAC2ABAC0,所以ABABACAC2ABAC,即|AB|AC|,而 cos A ABAC|AB|AC|12,所以A60,所以ABC 为等边三角形答案:等边三角形15如图,在等腰三角形 ABC 中,已知 ABAC2 7,A120,E,F 分别是边AB,AC 上的点,且AEmAB,AFnAC,其中 m,n(0,1),若线段 EF,BC 的中点分别为
17、M,N,且 m2n1,则|MN|的最小值是_解析:连接 AN,AM.因为MN ANAM 12(ABAC)(AEAF)12(ABAC)(mABnAC)12(1m)AB(1n)AC,又 ABAC2 7,A120,ABAC|AB|AC|cos 1202 72 712 14,所以|MN|121m2AB 21n2AC 221m1nABAC12281m2281n2281m1n.因为 m2n1,所以 m12n,所以|MN|77n24n17n272 349,因为 n(0,1),所以当 n27时,MN 取得最小值,所以|MN|的最小值是 7 37 3.答案:316定义平面向量的一种运算 ab|ab|ab|sin
18、a,b,其中a,b是 a 与b 的夹角,给出下列命题:若a,b90,则 aba2b2;若|a|b|,则(ab)(ab)4ab;若|a|b|,则 ab2|a|2;若 a(1,2),b(2,2),则(ab)b 10.其中真命题的序号是_解析:中,因为a,b90,则 ab|ab|ab|a2b2,所以成立;中,因为|a|b|,所以(ab),(ab)90,所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|,所以不成立;中,因 为|a|b|,所 以 a b|a b|a b|sin a,b|a b|a b|ab|2|ab|222|a|2,所以成立;中,因为 a(1,2),b(2,2),所以 ab(1,4),sin(ab,b3 3434,所以(ab)b3 5 53 3434 45 3434,所以不成立答案: