1、考点规范练36空间直线、平面的平行一、基础巩固1.已知两条不同的直线m,n和一个平面,下列命题中的真命题是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,n,则mnD.若m,n,则mn答案:D解析:对于A,直线m,n可能平行、异面或相交,故A错误;对于B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误;对于C,m与n垂直而非平行,故C错误;对于D,垂直于同一平面的两直线平行,故D正确.2.已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当m,n时,由线面平行的判定定理可知,mnm;反之m不一定有m
2、n,m与n还可能异面.故选A.3.(多选)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,O为矩形对角线的交点,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是()A.OMPDB.OM平面PCDC.OM平面PDAD.OM平面PBA答案:ABC解析:由题意知,OM是BPD的中位线,所以OMPD,故A正确;因为PD平面PCD,OM平面PCD,所以OM平面PCD,故B正确;同理,可得OM平面PDA,故C正确;OM与平面PBA相交,故D不正确.4.(多选)下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形是()答案:AD解析:A中,如图,连接BC,由已知得A
3、CNP,BCMN,从而得AC平面MNP,BC平面MNP,于是有平面ABC平面MNP,所以AB平面MNP.B中,如图,连接BC,交MP于点O,连接ON,易知在底面正方形中O不是BC中点(实际上是靠近点C的四等分点),而N是AC中点,因此AB与ON不平行,在平面ABC内,AB与ON必相交,此交点也是直线AB与平面MNP的公共点,直线AB与平面MNP相交而不平行.C中,如图,连接BN,正方体中有PNBM,因此点B在平面MNP内,直线AB与平面MNP相交而不平行.D中,如图,连接CD,可得ABCD,CDNP,即ABNP,从而直线AB与平面MNP平行.5.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方
4、体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,且AP=a3,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=.答案:22a3解析:如图所示,连接AC.平面PQNM交正方体的上、下底面分别于PQ,MN,MNPQ.易知MNAC,PQAC.AP=a3,PDAD=DQCD=PQAC=23,PQ=23AC=22a3.6.已知平面,P,且P,过点P的直线m与,分别交于点A,C,过点P的直线n与,分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.答案:245或24解析:如图(1),ACBD=P,图(1)经过直线AC与BD可确定平面PCD.,平面PAB=AB,平面PC
5、D=CD,ABCD.PAAC=PBBD,即69=8-BDBD.图(2)解得BD=245.如图(2),同理可证ABCD.PAPC=PBPD,即63=BD-88.解得BD=24.综上所述,BD=245或24.7.如图,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,ABCD,BAAD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为.答案:平行解析:如图,取PD的中点F,连接EF,AF,在PCD中,EF12CD.ABCD,且CD=2AB,EFAB,四边形ABEF是平行四边形,BEAF.又BE平面PAD,AF平面PAD,BE平面PAD.8.(2021北京门头沟
6、一模)如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM平面AD1C,则动点M的轨迹所形成区域的面积是.答案:23解析:如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M满足BM平面AD1C,由面面平行的性质可知,当BM始终在一个与平面AD1C平行的平面内,即满足题意,过点B作与平面AD1C平行的平面,连接A1B,BC1,A1C1,则平面A1BC1平面AD1C,所以SA1BC1=12223222=23.9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,DC,PC上共面的四点,BC
7、平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,平面PDA平面GEFH,求四边形GEFH的面积.(1)证明:BC平面GEFH,又BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,BCGH.又BC平面GEFH,BC平面ABCD,且平面ABCD平面GEFH=EF,BCEF,GHEF.(2)解:平面PDA平面GEFH,平面PAB平面PAD=PA,平面PAB平面GEFH=GE,GEPA.BE=14AB,GE=14PA=172,同理HF=14PD=172,又由(1)知,BCGH,GH=34BC=6.在四边形GEFH中,GE=HF=172,GH=6,EF=8,且EFGH,四边形GEFH为等腰梯形,如图
8、,过点G作GM垂直于EF于点M,过点H作HN垂直于EF于点N,在RtGEM中,GM=GE2-EM2=132,S梯形GEFH=12(GH+EF)GM=7132.10.如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点,求证:(1)BE平面DMF;(2)平面BDE平面MNG.证明:(1)如图,连接AE,设DF与GN的交点为O,则AE必过DF与GN的交点O.连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO.又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN.又DE平面MNG,GN平面MN
9、G,所以DE平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN.又BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG.又DE平面BDE,BD平面BDE,DEBD=D,所以平面BDE平面MNG.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若BE=3EC,求证:DE平面A1MC1;(2)若AA1=1,求三棱锥A-MA1C1的体积.(1)证明:如图,取BC的中点N,连接MN,C1N,M是AB的中点,MNACA1C1,M,N,C1,A1四点共面.BE=3EC,E是NC的中点.又
10、D是CC1的中点,DENC1.DE平面MNC1A1,NC1平面MNC1A1,DE平面A1MC1.(2)解:当AA1=1时,有AM=1,A1M=2,A1C1=2.三棱锥A-MA1C1的体积VA-MA1C1=VC1-A1AM=1312AMAA1A1C1=26.二、综合应用12.(多选)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的是()A.平面EFGH平面ABCDB.直线PA平面BDGC.直线EF平面PBCD.直线EF平面BDG答案:ABC解析:作出立体图形,如图所示.连接E,F,G,H四点构成平面
11、EFGH.对于A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EFAD.又EF平面ABCD,AD平面ABCD,所以EF平面ABCD.同理,EH平面ABCD.又EFEH=E,EF平面EFGH,EH平面EFGH,所以平面EFGH平面ABCD,故A正确;对于B,连接AC,BD,DG,BG,设AC与BD的交点为M,则M为AC的中点,又G为PC的中点,所以MGPA,又MG平面BDG,PA平面BDG,所以PA平面BDG,故B正确;对于C,由A中的分析知EFAD,ADBC,所以EFBC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以直线EF平面PBC,故C正确;对于D,根据C中的分析可知EFBC,再结合图形可得BCBD
12、=B,则直线EF与平面BDG不平行,故D错误.13.在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为.答案:452解析:如图,取AC的中点G,连接SG,BG.易知SGAC,BGAC,故AC平面SGB,所以ACSB.因为SB平面DEFH,SB平面SAB,平面SAB平面DEFH=HD,所以SBHD.同理SBFE.又D,E分别为AB,BC的中点,所以H,F分别为AS,SC的中点,从而得HF12AC⤕
13、11;DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又ACSB,SBHD,DEAC,所以DEHD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HFHD=12AC12SB=452.14.(2021福建南安一中二模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界).若C1P平面CMN,则线段C1P长度的取值范围是.答案:17,5解析:如图,取A1D1的中点Q,连接C1Q,过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于点E,连接C1E,则易知平面C1QE平面CMN,当点P在线段QE上
14、时,C1P平面CMN,且当C1PQE时,C1P的长度取得最小值,过点C1作C1OQE,垂足为O.由题意可知C1D1=3,D1Q=4,C1Q=5.由AA1=6,AN=2NA1,得A1N=2,AN=4.QEMN,QD1MA,D1QE=NMA,D1QEAMN,ANAM=D1EQD1,D1E=AN=4,C1E=32+42=5,QE=42+42=42,O为QE的中点,C1O=52-(22)2=17.线段C1P长度的取值范围是17,5.15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在线段AC上是否存在点F,满足EF平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并
15、给出证明;若不存在,请说明理由.解法一:当AF=3FC时,FE平面A1ABB1.证明如下:如图,在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=34A1C1.又因为AFA1C1,且AF=34A1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EFAG.又因为EF平面A1ABB1,AG平面A1ABB1,所以EF平面A1ABB1.解法二:当AF=3FC时,EF平面A1ABB1.证明如下:如图,在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G,因为EGBB1,EG平面A1ABB1,BB1平面A1ABB1,所以EG平面A1ABB1.因为B1
16、E=3EC1,所以BG=3GC,所以FGAB.又因为AB平面A1ABB1,FG平面A1ABB1,所以FG平面A1ABB1.又因为EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG平面A1ABB1.因为EF平面EFG,所以EF平面A1ABB1.三、探究创新16.如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:平面AB1C平面DA1C1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.(1)证明:由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质,可得AB1DC1,A1DB1C.AB1B1C=B1,A1DDC1=D,平面AB1C平面DA1C1.(2)解:存在满足题意的点P.如图,在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP,B1BCC1,BB1CP,四边形BB1CP为平行四边形,BPB1C.A1DB1C,BPA1D.又A1D平面DA1C1,BP平面DA1C1,BP平面DA1C1.
