1、押第21题 圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透.通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究 直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1） 问起点较低，但在第（2）问
2、中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴 题的形式呈现解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已 知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法 （1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解 （2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数 方法、不等式方法等进行求解函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基 本不等式求解 2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，
3、从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围3定点、定值模板 1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或 者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用韦达定理列出 x1x2， x1x2(或 y1y2，y1y2的关系式备用 2.根据已知条
4、件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接 3，确定与参数无关点、值，即为所求.1（2021湖南高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.【详解】（1）椭圆经过点，所以，因为离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）由得，解得，所以，或，可得，或者，所以.2（2021江苏高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.(1) 求实数的值；(2) 求的值；(3) 求函数的解析式.【详解】(1) 由直线过定点可得：，由，解得，所以直线过定点.又因为时，所以，有，.(2) ，
5、因为为偶函数，所以，所以. (3) 由(1)知，当时，.当时，又为偶函数，所以，综上可知，.3（2021全国高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以
6、，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是4（2021浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）方法一：通式通法设，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或或.方法二：利用焦点弦性质设直线的方程
7、为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且由得，所以因为，由得同理由得因为，所以即故令，则所以，解得或或故直线在x轴上的截距的范围为方法三【最优解】：设，由三点共线得，即所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为设直线的方程为，则所以故（其中）所以因此直线在x轴上的截距为5（2021北京高考真题）已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|15时，求k的取值范围【详解】（1）因为椭圆过，故，因为四个顶
8、点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.（2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或.1（2022天津一模）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点A的直线与椭圆相交于点，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与椭圆相交于M，N两点，且ASM的面积是HSN面积的倍，求直线l的方程.【解析】(1)根据题目列方程解得，所以椭圆的方程为.(2)由已知得，所以，直线AH的方程为，所以，S点的坐标为.当直线l的斜率不存在时，或，都与已知不符；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得，
9、由ASM的面积是HSN面积的可得化简，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以，直线方程为.2（2022福建模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点为，离心率为.过点作直线与椭圆相交于两点.若是椭圆的短轴端点时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)试判断是否存在直线，使得，成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意知：，即；当为椭圆的短轴端点时，不妨设，则，又，即，解得：，椭圆的标准方程为；(2)设，由得：，设，则，同理可得：，又，整理得：，即，解得：，不存在直线符合题意.3（2022湖南雅礼中学二模）已知曲线C：，分别为C的左右焦点，过作直线l与C交于
10、A，B两点，满足，且.设e为C的离心率.(1)求；(2)若，且，过点P（4，1）的直线与C交于E，F两点，上存在一点T使.求的轨迹方程.【解析】(1)由题直线斜率存在且不为0，设，联立方程组得，则，消去，得，不妨设，则，整理可得，解得或或（舍）.(2)由题知，若斜率不存在，则与无交点，不合题意；若斜率存在，设，与联立，得，设，则，由得，设，由题，即，则可得，若，则，消去得，若，则，消去得，综上，的轨迹方程为或.4（2022广东深圳二模）已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴(1)求椭圆E的方程；(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点，直线与椭圆E的另一交点
11、分别为P，Q；，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q【解析】(1)由已知，点在椭圆上，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为：.(2)选，则，设，所以消去得：，所以，所以，则，所以，消去得：，所以，所以，则，所以，所以，所以直线的方程为：，所以，所以，故直线恒过定点.选，则，设，所以消去得：，所以，所以， 所以同理：，所以，所以所以直线的方程为：令，则故直线恒过定点.5（2022广东汕头二模）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30，且(1)求t的值；(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的
12、轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由【解析】(1)易知面，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，则，易知面的一个法向量为，设面的法向量为，则，令，则，可得，解得或3，又点E在弦AD上，故.(2)P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：取靠近的三等分点即中点，中点，连接，由为中点，易知，又面，面，所以平面BEC，又，面，面，所以平面BEC，又，所以面平面BEC，即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，又面，故P的轨迹即为所在直线，即过靠近的三等分点及中点的直线.（限时：30分钟）1已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.（1）求点的轨迹方程.（2
13、），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.【详解】（1）由圆，可得圆心，半径，因为，所以点在圆内，又由点在线段的垂直平分线上，所以，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为，将代入，得，直线的方程为，令得，即，的直线方程为，代入得，所以直线过定点2已知定点，点为圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线与直线交于点(1)设点的轨迹为曲线，求曲线的方程；(2)若过点且不与轴重合的直线与(1)中曲线交于，两点，为线段的中点，直线(为原点)与曲线交于，两点，且满足，若存在这样的直线，求出
14、直线的方程，若不存在请说明理由【详解】(1)依题意有，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，长轴长，焦距，故点的轨迹C方程为；(2)设存在直线满足，因为，设方程为，得，方程为，设，由得，解得：或(舍)，故存在符合条件的直线，其方程为或3已知椭圆：的离心率，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，四边形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上一点（不在坐标轴上），直线，分别与轴相交于，两点，设，的斜率分别为，过点的直线的斜率为，且，直线与轴交于点，求的值【详解】（1）由题：，且，又，所以，所以椭圆的方程为（2）设，则即，不妨设，直线：，令得，故；同理可求则，所以，所以直线为，令得，又，故即，又即，代入
15、上式得，4已知椭圆的左右顶点分别是点，直线与椭圆相交于，两个不同点，直线与直线的斜率之积为，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点是直线的一个动点(不在轴上)，直线与椭圆的另一个交点为，过作的垂线，垂足为，在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设，由题意得，椭圆的方程为；（2）假设存在这样的点，设直线与轴相交于点，由题意得，由（1）得，设，由题意可设直线的方程为，由，得，或(舍去)，直线过定点，存在定点，使得.5如图，为抛物线上四个不同的点，直线与直线相交于点，直线过点.（1）记，的纵坐标分别为，求的值；（2）记直线，的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线的方程为，代入得，则.（2）由（1）同理得设直线的方程为，代入得，则又，同理则存在实数，使得成立.
