1、考前过关训练(三)柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (35分钟60分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数y=2+的最大值为()A.B.-C.-3D.3【解析】选D.y=+1=3,当且仅当=,即x=0时,等号成立.2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.【解析】选B.由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2,当且仅当=时等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a
2、2(3-a)2,解得1a2,即a的最大值是2.3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的()A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.4.对于正整数n,下列说法不正确的是()A.3n1+2nB.0.9n1-0.1nC.0.9n0,则0且a12b12c12
3、0,则+=+=a10+b10+c10.11.a1,a2,an是互不相等的正数,其中ai1,+),且i1,2,3,n,n2.证明:(1)+a1+a2.(2)+n.【证明】(1)因为a10,a20,且a1a2,所以+-a1-a2=0,所以+a1+a2.(2)不妨设1a1a2an,则.由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,所以+.即+a1+a2+an=n.12.(2016厦门高二检测)设an=1+(nN+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时,由a1=g(
4、2)(a2-1),即1=g(2),所以g(2)=2;当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),即1+=g(3),所以g(3)=3,当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1+=g(4),所以g(4)=4,由此猜想g(n)=n(n2,nN+).下面用数学归纳法证明:当n2,nN+时,等式a1+a2+a3+an-1=n(an-1)成立.(1)当n=2时,a1=1,g(2)(a2-1)=2=1,结论成立.(2)假设当n=k(k2,kN+)时结论成立,即a1+a2+a3+ak-1=k(ak-1)成立,那么当n=k+1时,a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),说明当n=k+1时,结论也成立,由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)成立.
