1、第二章 函数性质 第二节 函数的单调性与最值最新考纲考情索引核心素养1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.2018全国卷，T12 2017全国卷，T92017全国卷，T8 2017天津卷，T61.数学运算2.逻辑推理1函数的单调性(1)单调函数的定义项目增函数减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2定义当 x1x2 时，都有_，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x10)在公共定义域内与 yf(x)，y1f（x）的单调性相反1概念思辨判断下列说法的正误(
2、正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x2D，且 x1x2 有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数()(2)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)对于函数 yf(x)，若 f(1)f(3)，则 f(x)为增函数()(4)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()解析：(2)此单调区间不能用并集符号连接，取 x11，x21，则 f(1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和(0，)(3)应对任意的 x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以(4)若 f(x)x，f(x)在1，)
3、上为增函数，但 yf(x)的单调递增区间可以是 R.答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 1P39B 组 T3 改编)下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()Ay1xxByx2xCyln xxDyex(2)(人 A 必修 1P31 例 4 改编)函数 y 1x1在2，3上的最小值为()A2 B.12C.13D12解析：(1)A、B、C 在(0，)上均不单调选项 D 中，yex1ex在区间(0，)内是减函数(2)因为 y 1x1在2，3上单调递减，所以 ymin 13112.答案：(1)D(2)B3典题体验(1)(2019广东省际名校(茂名)联考)设函数 f(x)在
4、R 上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay1f（x）在 R 上为减函数By|f(x)|在 R 上为增函数Cy1f（x）在 R 上为增函数Dyf(x)在 R 上为减函数(2)若函数 f(x)(m1)xb 在 R 上是增函数，则 f(m)与 f(1)的大小关系是()Af(m)f(1)Bf(m)0，所以 m1，所以 f(m)f(1)(3)由 x22x80，得 x4 或 x2.设 tx22x8，则 yln t 为增函数要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 tx22x8 的单调递增区间因为函数 tx22x8 的单调递增区间为(4，)，所以函数 f(x)的单调递增区间为(4，)答案：(1)D(2
5、)A(3)D考点 1 确定函数的单调性(区间)(讲练互动)【例 1】函数 ylog12(2x23x1)的单调递减区间为()A(1，)B.，34C.12，D.34，解析：由 2x23x10，得函数的定义域为，12(1，)令 t2x23x1，则 ylog12t，因为 t2x23x12x34218，所以 t2x23x1 的单调递增区间为(1，)又 ylog12t 在(1，)上是减函数，所以函数 ylog12(2x23x1)的单调递减区间为(1，)答案：A【例 2】判断并证明函数 f(x)ax21x(其中 1a3)在 x1，2上的单调性解：函数 f(x)ax21x(1a3)在 x1，2上单调递增证明如
6、下：设 1x1x22，则 f(x2)f(x1)ax22 1x2ax21 1x1(x2x1)a（x1x2）1x1x2，由 1x10，2x1x24，1x1x24，1 1x1x214.又因为 1a3，所以 2a(x1x2)0，从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增1(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间；(2)函数的单调区间不能用集合或不等式表示，且图象不连续函数的单调区间一般要分开写，用“和”与“，”连接2(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法(2)函数 yf(g(x)的单调性
7、应根据外层函数 yf(t)和内层函数 tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则变式训练一题多解试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性解：法一 设1x1x21，f(x)ax11x1a1 1x1，f(x1)f(x2)a11x11 a11x21 a（x2x1）（x11）（x21），由于1x1x21，所以 x2x10，x110，x210，故当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递增法 二 f(x)（ax）（x1）ax（x
8、1）（x1）2a（x1）ax（x1）2a（x1）2.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增考点 2 求函数的最值(自主演练)【例 1】(2019郑州调研)函数 f(x)x 1x2在 x1，4上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm 的值是()A.3116B2 C.94D.114解析：易知 f(x)x 1x2在区间1，4上是增函数所以 Mf(x)maxf(4)3116，mf(x)minf(1)0.因此 Mm3116.答案：A【例 2】(2019珠海调研)定义 maxa，b，c，为 a，b，c，中的最大值，设
9、Mmax2x，2x3，6x，则M 的最小值是()A2 B3 C4 D6解析：画出函数 Mmax2x，2x3，6x的图象(如图)由图可知，函数 M 在A(2，4)处取得最小值 22624，故 M的最小值为 4.答案：C【例 3】已知函数 f(x)x2x3，x1，lg（x21），x1，则f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析：因为 f(3)lg(3)21lg 101，所以 f(f(3)f(1)0，当 x1 时，f(x)x2x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x)min2 230；当 x1 时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当 x0时，取等号，此时 f(x)min0.所以
10、 f(x)的最小值为 2 23.答案：0 2 23求函数最值的四种常用方法1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值2图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值3基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.考点 3 函数单调性的应用(多维探究)角度 比较函数值或自变量的大小【例 1】已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设 af12，bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的
11、大小关系为()AcabBcbaCacbDbac解析：由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函数 yf(x)的图象本身关于直线 x1 对称，所以 af12 f52.当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，等价于函数 f(x)在(1，)上单调递减，所以 bac.答案：D角度 求参数的值或取值范围【例 2】(2019潍坊质检)若函数 ylog13(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，则 a 的取值范围为()A(，4)2，)B(4，4C4，4)D4，4解析：令 tx2ax3a，则 ylog13t(t0)易知 tx2ax3a 在，a2 上
12、单调递减，在a2，上单调递增因为 ylog12(x2ax3a)在区间(2，)上是减函数，所以 tx2ax3a 在(2，)上是增函数，且在(2，)上 t0，所以 2a2，且 42a3a0，所以 a4，4答案：D角度 求解函数不等式【例 3】(2018全国卷)设函数 f(x)2x，x0，1，x0，则满足 f(x1)0，所以函数 f(x)的图象如图所示由图可知，当 x10 且 2x0 时，函数 f(x)为减函数，故 f(x1)2x.此时 x1.当 2x0 时，f(2x)1，f(x1)1，满足 f(x1)f(2x)此时1x0.综上，不等式 f(x1)0 的解集为_解析：由题意知，f12 f12 0，f(x)在(，0)上也单调递增所以 f(log19x)f12 或 f(log19x)f12，所以 log19x12或12log19x0，解得 0 x13或 1x3.所以原不等式的解集为x|0 x13或1x3.答案：x|0 x13或1x3
