1、第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1B.3C.2D.5答案D解析d=|0+20-5|12+22=5.2.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,并且点(5,1)到l的距离为10,则l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.-x+3y-4=0答案C解析由7x+5y-24=0,x-y=0,得x=y=2,直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点为(2,2).当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0.点(5
2、,1)到l的距离d=|5k-1+2-2k|k2+1=10,解得k=3,直线l的方程为3x-y-4=0.当直线l的斜率不存在时,l:x=2,不满足题意.综上所述,直线l的方程为3x-y-4=0.3.已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是5,若m0,则m+n=()A.0B.-1C.1D.-2答案B解析两条直线平行,所以2n=-12,解得n=-4,直线2x-ny-4=02x+4y-4=0x+2y-2=0.又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0之间的距离是5,则|m+2|5=5,解得m=3或m=-7(舍去),m+n=3-4=-1.4.已知点A(1,3),B(3,1),C(
3、-1,0),则ABC的面积等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析设AB边上的高为h,则SABC=12|AB|h,|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,SABC=122252=5.5.直线l过点A(3,4),且与点B(-3,2)的距离最远,则直线l的方程为()A.3x-y-5=0B.3x-y+5=0C.3x+y+13=0D.3x+y-13=0答案D解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,因为kAB=4-23-(-3
4、)=13,所以直线l的斜率k=-3.所以直线l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.6.已知0k0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为()A.423B.2C.22或2D.0或2答案A解析直线l1:mx+2y-4-m=0(m0)在两坐标轴上的截距相等,m+4m=m+42,m=2.直线l1:x+y-3=0,即3x+3y-9=0.故直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为|-1-(-9)|9+9=423.故选A.15.若直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为()A.1B.2C.2D.22答
5、案B解析直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a2-1=0,解得a=1.当a=-1时,直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y+1=0重合,故舍去.当a=1时,直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+y+1=0平行.故两条平行直线之间的距离d=|-1-1|2=2.故选B.16.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,-1),当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为.答案x+2y-3=0解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.由于PQ的斜率为1+11-0=2,故直线l1的斜率为-12,故它的方程是y-1=-12(x-1),化
6、简为x+2y-3=0.17.已知直线过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为.答案x=12或x-3y+1=0解析联立x-3y+1=0,3x+y-3=0,解得x=12,y=32,故交点的坐标为A12,32.当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点(0,0)到直线x=12的距离为12,符合题意;当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y-32=kx-12,即kx-y-12k+32=0,由于原点(0,0)到方程为kx-y-12k+32=0的直线的距离d=-12k+321+k2=12,解得k=33,故所求直线的方程为x-3y+1=0
7、.18.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为y-15-1=x-47-4,即4x-3y-13=0,直线AC的方程为y-17-1=x-4-4-4,即3x+4y-16=0.所以由点到直线的距离公式,得|4x-3y-13|42+(-3)2=|3x+4y-16|32+42,即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,即4x-3y-13=(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方
8、程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.19.如图,ABC中,顶点A(1,2),BC边所在直线的方程为x+3y+1=0,AB边的中点D(0,1).(1)求AB边所在直线的方程;(2)若|AC|=|BC|,求AC边所在直线的方程.解(1)AB边的中点为D(0,1),AB边所在直线的方程为x-10-1=y-21-2,即x-y+1=0.(2)|AC|=|BC|,点C在线段AB的垂直平分线x+y-1=0上,由x+y-1=0,x+3y+1=0,得x=2,y=-1,即点C的坐标为(2,-1),又点A(1,2),AC边所在直线的方程为x-12-1=y-2-1-2,即3x+y-5=0.学科素养拔高练20.
9、(多选)S=直线lsinmx+cosny=1,m,n为正常数,0,2),下列结论中错误的是()A.当=4时,S中直线的斜率为nmB.S中所有直线均经过同一个定点C.当mn时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2nD.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面答案ABD解析当=4时,sin=cos,S中直线的斜率为-nm,故A不正确;根据sinmx+cosny=1,可知S中所有直线不可能经过一个定点,B不正确;当mn时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2m2+cos2n22n,即最小值为2n,C正确;(0,0)不满足方程,S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.21.已知P为等腰ABC的
10、底边BC上一点(不含端点),PMAB于点M,PNAC于点N,证明:|PM|+|PN|为定值.证明以BC的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0)(a0),A(0,b),P(x1,0),a,b为定值,-ax10.所以AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,得|PM|=|bx1+ab|a2+b2,|PN|=|bx1-ab|a2+b2.因为a0,b0,所以ab0,-ab0,bx1-ab0.所以|PM|+|PN|=bx1+ab-(bx1-ab)a2+b2=2aba2+b2为定值.同理可求证,当b0时,|PM|+|PN|=-2aba2+b2为定值.
