1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.能利用导数的运算法则求函数的导数.2.通过导数的四则运算法则的应用,增强运算求解的数学素养.自主预习 新知导学导数的运算法则【问题思考】1.已知函数f(x)=x,g(x)=ln x.(1)求f(x),g(x).提示:f(x)=1,g(x)=.(2)如何求函数Q(x)=x+ln x,H(x)=x-ln x的导数?跟问题(1)的结果有什么关系?2.填空:(1)一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的导数,我们有如下法则:f(x)g(x)=f(x)g(x).(2)对于两个函数f(x)和g(x)的乘积(或商
2、)的导数,我们有如下法则:f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);由函数的乘积的导数法则可以得出:常数与函数的积的导数,等于常数与函数的导数的积,即cf(x)=cf(x).3.做一做:下列运算正确的是()对于D,(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)=2xcos x-x2sin x,故错误.答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“”,错误的画“”.(1)和的导数等于导数的和,差的导数等于导数的差.()(2)积的导数等于导数的积,商的导数等于导数的商.()(3)若f(x)=f(a)x2+ln x(a0),则f(x)=2f(a)x+.()
3、合作探究 释疑解惑探究一导数的四则运算【例1】求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+2)(x-3);(2)f(x)=lg x-3x;解:(1)f(x)=x2-x-6,f(x)=(x2-x-6)=2x-1.反思感悟 应用导数的四则运算法则求函数的导数的技巧(1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.(2)利用代数恒等变形可以避开对商的求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.【变式训练1】求下列函数的导数:(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);解:(1)y=
4、(x5-3x3-5x2+6)=(x5)-(3x3)-(5x2)+6=5x4-9x2-10 x.(2)(方法一)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.(方法二)y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.探究二导数的运算及其几何意义【例2】求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程.若将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程,结果会怎样?解:y=3x2-2,y|x=1=1,即切线的斜率k=1.曲线在点A处的切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.
5、反思感悟 1.求曲线的切线方程时一定要分清是求曲线在点P处的切线方程,还是求过点P与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1,-1)虽然在曲线上,但经过该点的切线不一定只有一条,即该点可能是切点,也可能是切线与曲线的交点.【例3】若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b=.解析:函数y=x3+ax+b的导数y=3x2+a.答案:1反思感悟 与切线有关的参数问题的处理技巧通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.【变式训练2】设函数f(x)=x2+bx+c,其中a0,曲线y
6、=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1,求实数b,c的值.解:由题意,得f(x)=x2-ax+b,所以f(0)=b=0.综上所述,b=0,c=1.探究三导数运算法则的综合应用【例4】在抛物线y=-x2上求一点,使之到直线4x+3y-8=0的距离最小.解:如图所示,作与直线4x+3y-8=0平行的直线l,当l与抛物线y=-x2相切时,切点P到直线4x+3y-8=0的距离最小.反思感悟 导数的综合应用的解题技巧导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现在综合大题中.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题,可以结合导数的几何意义去分析.【变式训
7、练3】已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离.解:作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线,则切点P即为在已知曲线上到直线y=x-2的距离最小的点.【规范解答】求导公式及运算法则的综合应用【典例】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值.解:因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b.所以f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,反思感悟 1.求函数的导数必须熟记导数
8、的运算法则,要特别注意常数、积和商的导数形式,不能把求导法则用错,如本例中正确应用幂函数的求导公式及加法求导法则.2.函数f(x)在x=x0处的导数就是函数的图象在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k切线=f(x0),其中,切点既在曲线上又在切线上,如本例的原点即切点.【变式训练】(1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10 x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标.解:(1)y=ex+xex+2,曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e0+0+2=3,所求切线方程为y-1=3x,即y
9、=3x+1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),y=3x2-10,3 -10=2,解得x0=2.又点P在第二象限内,x0=-2.点P在曲线C上,y0=(-2)3-10(-2)+3=15.点P的坐标为(-2,15).随堂练习1.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则a的值为()解析:f(x)=ax2+c,f(x)=2ax.又f(1)=2,2a=2,a=1.故选A.答案:A2.函数y=xln x的导数是()解析:y=xln x+x(ln x)=ln x+x =ln x+1.故选C.答案:C3.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.解析:由y=2ln x,得y=,则曲线y=2ln
10、 x在点(1,0)处的切线的斜率为k=y|x=1=2.故所求的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-24.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0=.答案:1 5.已知偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.解:f(x)的图象过点P(0,1),e=1.又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0,d=0.f(x)=ax4+cx2+1.函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,切点为(1,-1).a+c+1=-1.切线的斜率为1,且f(1)=4a+2c,4a+2c=1.
