1、山东省济宁邹城市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题（含解析）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 的虚部为【答案】B【解析】【分析】计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项【详解】由题：，所以：，的虚部为.故选：B【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据得到A是B子集，
2、根据范围大小得到答案.【详解】所以 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.3. 已知，且，则的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式，将代入运算即可.【详解】解：因为，所以，即，又 ，则，解得= 7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.4. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数不等式的性质解得，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
3、【详解】ln（x+1）00x+111x0，1x0，但时，不一定有1x0，如x=-3，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题5. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A.
4、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6. 已知、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）A
5、. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可【详解】f（x）x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f（x）有2个不相等的实数根，故4m240，解得：m1或m1，而alog0.552，0blog321、c20.31，0d（）21，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题7. 已知定义在上奇函数，满足时，则的值为（ ）A. -15B. -7C. 3D. 15【答案】A【解析
6、】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经
7、过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故ABM的周长为,本题选择D选项.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列判断正确的是（ ）A. 若随机变量服从正态分布，则；B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；C. 若随机变量服从二项分布：,则；D. 是的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】【分析】由随机变量服从正态分布N（1，2），则曲线关于x1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断可判断B；运用二项分布的期望公式Enp，即可判断C；可根据充
8、分必要条件的定义，注意m0，即可判断D【详解】A已知随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则曲线关于x1对称，可得P（4）10.790.21，P（2）P（4）0.21，故A正确；B若，直线l平面，直线l，m，lm成立若lm，当m时，则l与的位置关系不确定，无法得到“”是“lm”的充分不必要条件故B对；C由于随机变量服从二项分布：B（4，），则E40.251，故C对；D“am2bm2”可推出“ab”，但“ab”推不出“am2bm2”，比如m0，故D对；故选：ABCD【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题10. 由我国引领
9、的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合图，下列说法不正确的是（ ）A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】C【解析】【分析】由柱状图观察信息服务商逐年增长并后续2029年开始超过设备制造商GDP.
10、【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误故选：C【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，时，函数单调递减，时，函数单调递增，是的极小值点，故A错误；对于B选项， 函数在上单调递减，又 ， 函数有且只有1个零点，故B正确
11、；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，在上，函数单调递增，上，函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.12. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数的值域与的值域不相同B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C. 函数和在区间
12、上都增函数D. 若为是函数的极值点，则是函数的零点【答案】CD【解析】【分析】求导得解析式，利用辅助角公式化简整理成形式，利用函数求值域、单调性逐一判断选项即可.【详解】，函数的值域与的值域均为，故A错误；函数的图象向右平移个单位长度，得，不是的图像，故B错误；时，是单调递增函数，是单调递增函数，故C正确；为是函数的极值点，则，即是函数的零点，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题.三、填空题：本题共4小题.13. 若非零向量、,满足,则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由题意得，由此求得的值，即可得到与的夹角的大小.【详解】设与的夹角为，由题意,
13、，可得，所以，再由可得，故答案是.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.14. 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据切线长定理求出MF1MF2，即可得出a，从而得出双曲线的离心率【详解】设MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MAMB，PAPQ，BF2QF2，又PF1PF2，MF1MF2（MA+AP+PF1）（M
14、B+BF2）PQ+PF2QF22PQ，由双曲线的定义可知MF1MF22a，故而aPQ，又c2，双曲线的离心率为e故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键15. 设（1）当时，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_【答案】 (1). (2). 0，【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a0，不满足条件若a0，f（0）a22，即0a，即得解.【详解】（1）当时，当x0时，f（x）（x）2（）2，当
15、x0时，f（x）x22，当且仅当x1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x0时，函数f（x）2，此时的最小值为2，若a0，则当xa时，函数f（x）的最小值为f（a）0，此时f（0）不是最小值，不满足条件若a0，则当x0时，函数f（x）（xa）2为减函数，则当x0时，函数f（x）的最小值为f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）a22，即0a，即实数a的取值范围是0，【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】因为f（x）0在区间（
16、0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x（0，），f（x）0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值【详解】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，则，再令，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明
17、过程或演算步骤.17. 在中，角，的对边分别为，已知.（1）若，的面积为，求，的值；（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1），或，（2）【解析】【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角为钝角，求出k的取值范围【详解】ABC中，4acosAccosB+bcosC，4sinAcosAsinCcosB+sinBcosCsin（C+B）sinA，cosA，sinA；（1）a4，a2b2+c22bccosAb2+c2bc16；又ABC的面积为：S
18、ABCbcsinAbc，bc8；由组成方程组，解得b4，c2或b2，c4；（2）当sinBksinC（k0），bkc，a2b2+c22bccosA（kc）2+c22kcc（k2k+1）c2；又C为钝角，则a2+b2c2，即（k2k+1）+k21，解得0k；所以k的取值范围是【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的
19、管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望参考公式：其中临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841
20、5.0246.63510.828参考数据：【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出，从而，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测值为故有99.9%的把握认为
21、村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为X0123P则数学期望为（或由，得【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等19. 已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前
22、项和.【详解】（1）对任意，有，当时，有，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.（2）.【点睛】已知与的递推关系，利用临差法求时，要注意对下标与分两种情况，即；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.20. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为 的垂心（1）求证：平面平面 ；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）. 【解析】试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证 平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点
23、坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.（2）以点为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，则，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则 .点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据
24、观察得出结论)在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,； （2）存在点，且.【解析】【分析】（1）由已知条件得，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在
25、，直线的方程为，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，联立，得，根据韦达定理可得：，由于，则 因为为定值，所以，解得，故存在点，且.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握22. 设函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.求，的值；求实数取值范围，使得对恒成立.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；.【解析】【分析】（1）求出后讨论其符号可得函数的单调区间.（2）根据函数在处切线的斜率可得，构建新函数，就分类讨论的单调性后可得的取值范围.【详解】（1）当，时，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为.（）（）因为，所以.依题设有，即.解得.（）由（）得，.对恒成立即对恒成立.令.则有.当时，当时，所以在上单调递增.所以，即当时，恒成立；当时，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，不恒成立.综上，.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立，前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构造新函数，通过新函数的最值来讨论，本题属于难题.
