1、【类型综述】线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时
2、点P在AB的延长线上，即P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图1 图2 图3如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分BAC交BC于E点P在AE上，点Q在AB上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊来源:ZXXK第一步，应用“两点之间，线段最短”如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PFPQ的最小值是线段FQ第二步，应用“垂线段最短”如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的图4 图5 图6【典例分析】例1
3、 如图1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；来源:（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图1例2如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B
4、、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧来源:Zxxk.Com（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1例3 如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴来源:+网Z+X+X+K（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的
5、坐标；来源:图1 例4如图1，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？图1例5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 ，求a的值；（3
6、）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由图1 备用图【变式训练】一、单选题1如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（ ）A B C D2如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中AB=4，AOC=120，P为O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A3 B1+ C1+3 D1+3如图，矩形ABCD 中，AB4，AD3，P 是边CD 上一点，将ADP沿直线AP对折，得到APQ当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（ ）A3 B2 C
7、D4如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ）A15 B16 C19 D205如图，在菱形ABCD中，AB=6，A=135，点P是菱形内部一点，且满足，则PC+PD的最小值为（ ）A B C6 D6如图，在 ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BEEF的最小值是A4 B4.8 C5 D5.47在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE则CD+DE的最小值为（ ）A8 B C D二、解答题8问题发现：（）如图，中，点是边上任意一点，则的最小值为_（）如图，矩形中，点、点分别
8、在、上，求的最小值（）如图，矩形中，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度；若不存在，请说明理由9问题提出：如图1，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又PCD=BCP，PCDBCP，PD=BP，AP+BP=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 来源:Zxxk.Com（2）自主探索：在“问
9、题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形COD中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值10已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）（）当b=1，c=3时，求二次函数在2x2上的最小值；（）当c=3时，求二次函数在0x4上的最小值；（）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2bx2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式11已知四边形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3（1）如图1，若P为AB边上一点以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否
10、存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请问对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由（3）如图2，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=AP，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 12（本题满分分）（）【问题】如图，点为线段外一动点，且， 当点位于_时线段的长取得最大值，且最大值为_（用含、的式子表示）（）【应用】点为线段除外一动点，且， 如图所示
11、，分别以、为边，作等边三角形和等边三角形，连接、请找出图中与相等的线段，并说明理由直接写出线段长的最大值（）【拓展】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且， ， 请直接写出线段长的最大值及此时点的坐标13如图，已知中，边上的高，四边形为内接矩形当矩形是正方形时，求正方形的边长设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，当为何值时有最大值，并求出最大值14如图，抛物线与坐标轴相交于、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接直接写出、的坐标；来源:Zxxk.Com求抛物线的对称轴和顶点坐标；求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为
12、菱形15如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ的最大值；PD.DQ的最大值.16问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接
13、CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BC=4，若对角线BDCD于点D，请直接写出对角线AC的最大值17如图14，是的直径，连接（1）求证：；（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理
14、由18.如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；判断是否成立？请说明理由； 来源:Zxxk.Com设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）19.已知抛物线（是常数）经过点.（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值；当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.（1）求抛物线的表达式；（2）点在线段上（不与点、重合），过作轴，交直线于，交抛物线于点，连接，求面积的最大值；（3）若是轴正半轴上的一动点，设的长为，是否存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
