1、立体几何(6)12019武汉高三毕业班调研在四棱锥PABCD中，ACDCAB90，ADAC2，PCAD，PCPD.(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)若ABCDPC，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值解析：(1)证明：在ACD中，由ACD90及ADAC2，得ACCD，则ACD为等腰直角三角形，所以ADC45.过点P作PEAD，垂足为E，连接CE，因为PCAD，PEPCP，所以AD平面PEC，又CE平面PEC，则ADCE，由ADC45可知ECED.而PCPD，PEPE，从而PEDPEC，所以PEEC.又PEAD，且ECADE，可得PE平面ABCD，又PE平面PAD，故平面PAD平面ABC
2、D.(2)由ACCD及CEAD知E是AD的中点如图，建立空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，2，0)，则(1，1，0)，(1，0，1)，(1，2，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，则n(1，1，1)设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin |cos，n|.故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.2.2019郑州市高三毕业班质量检测四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AB2，BC，PAPB，侧面PAB底面ABCD.(1)证明：PCBD；(2)设BD与平面PAD所成的角为45，求二面角BPCD的余弦
3、值解析：(1)证法一设AB中点为O，连接PO，由已知PAPB，所以POAB，而平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，故PO平面ABCD，取CD的中点为E，连接OE，易知OE，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设POh，则P(0，0，h)，B(0，1，0)，C(，1，0)，D(，1，0)，所以(，1，h)，(，2，0)，因为0，所以PCBD.证法二设AB中点为O，连接PO，由已知PAPB，所以POAB，而平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，故PO平面ABCD，BD平面ABCD，从而BDP
4、O，在矩形ABCD中，连接CO，设CO与BD交于点M，则由CDCBBCBO知，BCDOBC，所以BCOCDB，所以BCMCBMCDBCBM90，故BDCO，POCOO，由知BD平面PCO，又PC平面PCO，所以PCBD.(2)由ADAB，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，可得AD平面PAB，所以平面PAB平面PAD，平面PAB平面PADPA，过点B作BHPA，垂足为H，则BH平面PAD，BD与平面PAD所成的角即为BDH，所以BHBD，可得PAB60，从而PAB为等边三角形，PO，以O为坐标原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，1，0
5、)，P(0，0，)，C(，1，0)，D(，1，0)，(也可以用向量法求出PO，设P(0，0，h)，h0，则A(0，1，0)，B(0，1，0)，D(，1，0)，可求得平面PAD的一个法向量为p(0，h，1)，而(，2，0)，由|cosp，|sin 45，解得h)(0，1，)，(，0，0)，(，1，)，(0，2，0)，设平面BPC的法向量为m(a，b，c)，则即令b，则c1，可取m(0，1)，设平面DPC的法向量为n(x，y，z)，则即令x，则z，可取n(，0，)，于是cosm，n，易知二面角BPCD为钝角，故二面角BPCD的余弦值为.32019贵阳市普通高中高三年级模拟考试如图，四棱锥PABCD
6、中，PAD是等边三角形，ABCD，ABBC，CD2AB2BC2，M，N分别为PD，BC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)若AC平面PAD，求直线MN与平面PBC所成角的正弦值解析：(1)证明：取AD的中点O，连接MO，NO，M为PD的中点，OMPA，又OM平面PAB，PA平面PAB，OM平面PAB，N为BC的中点，ONAB，同理ON平面PAB，又OMONO，平面MNO平面PAB，MN平面OMN，MN平面PAB.(2)解法一AC平面PAD，ACAD，以A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向，过点A作垂直于平面ACD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，易知z轴在平面PAD
7、内在RtACD中，AC2，CD2，AD2，P(0，1，)，D(0，2，0)，M，B(1，1，0)，C(2，0，0)，N(，0)，(1，2，)，(1，1，0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，取x1，得y1，z，即n(1，1，)，设直线MN与平面PBC所成角为，sin |cos，n|.直线MN与平面PBC所成角的正弦值为.解法二取CD的中点为E，连接OP，OE，AE，OPOD，OEAC，AC平面PAD，OE平面PAD，OE，OP，OD两两互相垂直，以O为坐标原点，以，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，ABCD，ABBC，CD2AB2BC2，AEED，
8、AD2，P(0，0，)，D(0，1，0)，M，B(1，2，0)，C(2，1，0)，N，(1，2，)，(1，1，0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，取x1，得y1，z，即n(1，1，)，设直线MN与平面PBC所成角为，sin |cos，n|，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为.42019郑州市高中毕业班第一次质量预测如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角解析：(1)证明：由题意
9、知AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB，cosABC.又易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，又AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为，即PAD，PDAD4，则A(0，4，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，4)，(2，2，0)，(2，4，0)，(0，4，4)AD2DB，CE2EB，DEAC，由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC，PDB
10、C，PDDED，CB平面PDE，(2，2，0)为平面PDE的一个法向量设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x，y1，n(，1，1)为平面PAC的一个法向量cosn，平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30.52018北京卷如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交解析：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四
11、边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE，所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.如图，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，E(0，0，0)，F(0，0，2)，G(0，2，1)所以(1，2，0)，(1，2，1)设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4)又因为平面CC1D的法向量为(0，2，0)，所以cosn，.由题知二面角BCD
12、C1为钝角，所以其余弦值为.(3)证明：由(2)知平面BCD的法向量为n(2，1，4)，(0，2，1)因为n20(1)2(4)(1)20，所以直线FG与平面BCD相交62019太原市高三年级模拟试题(二)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CBCDCE1，ABADAE，ECBD.(1)求证：平面BED平面ABCD；(2)若点P在平面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值解析：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，ADAB，CDCB，ACAC，ADCABC，易得ADOABO，AODAOB90，ACBD.又ECBD，ECACC
13、，BD平面AEC，又OE平面AEC，OEBD.又底面ABCD是圆内接四边形，ADCABC90，在RtADC中，由AD，CD1，可得AC2，AO，AEC90，易得AEOACE，AOEAEC90，即EOAC.又AC，BD平面ABCD，ACBDO，EO平面ABCD，又EO平面BED，平面BED平面ABCD.(2)如图，取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，DM，则MNBE，由(1)知，DACBAC30，即DAB60，ABD为正三角形，DNAB，又BCAB，平面DMN平面EBC，点P在线段MN上以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，B，E，M，D，N，设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则即令x1，则n(1，)，设(01)，可得，设直线DP与平面ABE所成的角为，则sin，01，当0时，sin取得最大值.故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为.
