1、第二章章末检测 班级_ 姓名_ 考号_ 分数_ 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分在下列各题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的 1下列各式叙述不正确的是()A若 a b,则 a、b 共线 B若 b3a(a 为非零向量),则 a、b 共线 C若 m3a4b,n32a2b,则 mn D若 abc0,则 abc 答案:C 解析:根据共线向量定理及向量的线性运算易解 2已知向量 a,b 和实数,下列选项中错误的是()A|a|aa B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|答案:B 解析:|ab|a|b|cos|,
2、只有 a 与 b 共线时,才有|ab|a|b|,可知 B是错误的 3已知点 A(1,3),B(4,1),则与向量AB同方向的单位向量为()A.35,45 B.45,35 C.35,45 D.45,35 答案:A 解析:AB(3,4),则与其同方向的单位向量 e AB|AB|15(3,4)35,45.4已知 O 是ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OAOBOC0,那么()A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD 答案:A 解析:由于 2OAOBOC0,则OBOC2OA2AO.所以12(OBOC)AO,又 D 为 BC 边中点,所以OD12(OBOC)所以AO
3、OD.5若|a|1,|b|6,a(ba)2,则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案:C 解析:a(ba)aba216cos12,cos12,0,故 3.6若四边形 ABCD 满足:ABCD0,(ABDA)AC,则该四边形一定是()A矩形 B菱形 C正方形 D直角梯形 答案:B 解析:由ABCD0ABDC且|AB|DC|,即四边形 ABCD 是平行四边形,又(ABDA)ACACDB,所以四边形 ABCD 是菱形 7给定两个向量 a(2,1),b(3,4),若(axb)(ab),则 x 等于()A.1327 B.132 C.133 D.727 答案:D 解析:axb(2,
4、1)(3x,4x)(23x,14x),ab(2,1)(3,4)(5,3),(axb)(ab),(23x)5(14x)(3)0,x 727.8如图所示,在重 600N 的物体上拴两根绳子,与铅垂线的夹角分别为 30,60,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为()A300 3N,300 3N B150N,150N C300 3N,300N D300N,300N 答案:C 解析:如图:作OACB,使AOC30,BOC60,OAC90,|OA|OC|cos30300 3N.|OB|OC|sin30300N.9已知向量 a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c52,则 a 与 c 的夹角为()
5、A30 B60 C120 D150 答案:C 解析:由条件知|a|5,|b|2 5,ab(1,2),|ab|5,(ab)c52,5 5cos52,其中 为 ab 与 c 的夹角,60,aba,ab 与 a 方向相反,a 与 c 的夹角为 120.10若向量AB(1,2),n(1,3),且 nAC6,则 nBC等于()A8 B9 C10 D11 答案:D 解析:nAB165,nACn(ABBC)nABnBC6,nBC11.11在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD13BA,E 是 CA 的中点,则CDBE等于()A12 B23 C13 D16 答案:A 解析:建立如图所示的直角坐标系,则 A
6、12,0,B12,0,C0,32,依题意设 D(x1,0),E(x2,y2),BD13BA,x112,0 13(1,0),x116.E 是 CA 的中点,CE12CA,又CA12,32,x214,y2 34.CDBE16,3234,341634 32 34 12.故选 A.12已知|a|2 2,|b|3,a,b 的夹角为4,如图所示,若AB5a2b,ACa3b,且 D 为 BC 中点,则AD的长度为()A.152 B.152 C7 D8 答案:A 解析:AD12(ABAC)12(5a2ba3b)12(6ab)|AD|214(36a212abb2)2254.|AD|152.二、填空题:本大题共
7、4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 13已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30,|a|2,|b|3,则 ab_.答案:3 解析:ab2 3 32 3.14已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b(ab)0,则|b|的取值范围是_ 答案:0,1 解析:b(ab)0,abb2,即|a|b|cos|b|2,当 b0 时,|b|a|coscos(0,1,所以|b|0,1 15设向量 a 与 b 的夹角为,且 a(3,3),2ba(1,1),则 cos_.答案:3 1010 解析:设 b(x,y),则 2ba(2x3,2y3)(1,1),x1,y2,则 b(1,2),
8、cosab|a|b|93 2 5 3103 1010.16关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题:若 abac,则 bc;若 a(1,k),b(2,6),ab,则 k3;非零向量 a 和 b 满足|a|b|ab|,则 a 与 ab 的夹角为 60,其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案:解析:a 与 b 的夹角为 1,a 与 c 的夹角为 2.abac,有|a|b|cos1|a|c|cos2,得不到 bc,错误 a(1,k),b(2,6),ab,ba,得 k3.正确 设|a|b|ab|m(m0),且 a 与 ab 的夹角为.则有(ab)2a22abb2m2,2abm2.a(ab)a
9、2abm2m223m22,(ab)2a22abb2m2m2m23m2,cosaab|a|ab|32m2m 3m 32.30.错误 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知|a|4,|b|8,a 与 b 的夹角是 150,计算:(1)(a2b)(2ab);(2)|4a2b|.解:(1)(a2b)(2ab)2a23ab2b2 2|a|23|a|b|cos1502|b|2 242348 32282 9648 3.(2)|4a2b|a2b2 16a216ab4b2 16|a|216|a|b|cos1504|b|2 1642 32482 8
10、(2 6)18(12 分)已知向量 a(3,2),b(2,1),c(3,1),tR,(1)求|atb|的最小值及相应的 t 值;(2)若 atb 与 c 共线,求实数 t 的值 解:(1)a(3,2),b(2,1),c(3,1),atb(3,2)t(2,1)(32t,2t),|atb|32t2t2 5t28t13 5t452495 495 7 55,当且仅当 t45时取等号,即|atb|的最小值为7 55,此时 t45.(2)atb(32t,2t),又 atb 与 c 共线,c(3,1),(32t)(1)(2t)30,解得 t35.19(12 分)已知 a(1,1)、b(0,2),当 k 为何
11、值时,(1)kab 与 ab 共线;(2)kab 与 ab 的夹角为 120.解:a(1,1),b(0,2)kabk(1,1)(0,2)(k,k2)ab(1,1)(1)要使 kab 与 ab 共线,则k(k2)0,即 k1.(2)要使 kab 与 ab 的夹角为 120,|kab|k2k2,|ab|2,cos120kabab|kab|ab|kk22 k2k212.即 k22k20,解得 k1 3.20(12 分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1OP2OP30,|OP1|OP2|OP3|1,求证:P1P2P3是正三角形 证明:如图所示,设ODOP1OP2,由于OP1OP2OP30,O
12、P3OD,|OD|1,|OD|1|P1D|,OP1P230,同理可得OP1P330,P3P1P260.同理可得P2P3P160,P1P2P3为正三角形 21(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC0,求 t 的值 解:(1)由题设知AB(3,5),AC(1,1),则ABAC(2,6),ABAC(4,4),所以|ABAC|2 10,|ABAC|4 2,故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10.(2)由题设知OC(2,1),ABtOC(32t,5
13、t)由(ABtOC)OC0,得(32t,5t)(2,1)0,即 5t11,所以 t115.22(12 分)设集合 D平面向量,定义在 D 上的映射 f 满足:对任意 xD,均有 f(x)x(R 且 0)(1)若|a|b|,且 a、b 不共线,试证明:f(a)f(b)(ab);(2)若 A(1,2),B(3,6),C(4,8),且 f(BC)AB,求 f(AC)AB.解:(1)证明:f(a)f(b)ab(ab),f(a)f(b)(ab)(ab)(ab)(a2b2)(|a|2|b|2)0,f(a)f(b)(ab)(2)由已知得AB(2,4),BC(1,2),AC(3,6)f(BC)AB,BCAB.即(1,2)(2,4),2.f(AC)AB(2AC)AB(6,12)(2,4)60.