1、第二章章末检测 班级_ 姓名_ 考号_ 分数_ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1下列各式叙述不正确的是()A若 a b，则 a、b 共线 B若 b3a(a 为非零向量)，则 a、b 共线 C若 m3a4b，n32a2b，则 mn D若 abc0，则 abc 答案：C 解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解 2已知向量 a，b 和实数，下列选项中错误的是()A|a|aa B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|答案：B 解析：|ab|a|b|cos|，
2、只有 a 与 b 共线时，才有|ab|a|b|，可知 B是错误的 3已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 答案：A 解析：AB(3，4)，则与其同方向的单位向量 e AB|AB|15(3，4)35，45.4已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2OAOBOC0，那么()A.AOOD B.AO2OD C.AO3OD D2AOOD 答案：A 解析：由于 2OAOBOC0，则OBOC2OA2AO.所以12(OBOC)AO，又 D 为 BC 边中点，所以OD12(OBOC)所以AO
3、OD.5若|a|1，|b|6，a(ba)2，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案：C 解析：a(ba)aba216cos12，cos12，0，故 3.6若四边形 ABCD 满足：ABCD0，(ABDA)AC，则该四边形一定是()A矩形 B菱形 C正方形 D直角梯形 答案：B 解析：由ABCD0ABDC且|AB|DC|，即四边形 ABCD 是平行四边形，又(ABDA)ACACDB，所以四边形 ABCD 是菱形 7给定两个向量 a(2,1)，b(3,4)，若(axb)(ab)，则 x 等于()A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D 解析：axb(2,
4、1)(3x,4x)(23x,14x)，ab(2,1)(3,4)(5，3)，(axb)(ab)，(23x)5(14x)(3)0，x 727.8如图所示，在重 600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30，60，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A300 3N,300 3N B150N,150N C300 3N,300N D300N,300N 答案：C 解析：如图：作OACB，使AOC30，BOC60，OAC90，|OA|OC|cos30300 3N.|OB|OC|sin30300N.9已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c|5，若(ab)c52，则 a 与 c 的夹角为()
5、A30 B60 C120 D150 答案：C 解析：由条件知|a|5，|b|2 5，ab(1，2)，|ab|5，(ab)c52，5 5cos52，其中 为 ab 与 c 的夹角，60，aba，ab 与 a 方向相反，a 与 c 的夹角为 120.10若向量AB(1，2)，n(1,3)，且 nAC6，则 nBC等于()A8 B9 C10 D11 答案：D 解析：nAB165，nACn(ABBC)nABnBC6，nBC11.11在边长为 1 的正三角形 ABC 中，BD13BA，E 是 CA 的中点，则CDBE等于()A12 B23 C13 D16 答案：A 解析：建立如图所示的直角坐标系，则 A
6、12，0，B12，0，C0，32，依题意设 D(x1,0)，E(x2，y2)，BD13BA，x112，0 13(1,0)，x116.E 是 CA 的中点，CE12CA，又CA12，32，x214，y2 34.CDBE16，3234，341634 32 34 12.故选 A.12已知|a|2 2，|b|3，a，b 的夹角为4，如图所示，若AB5a2b，ACa3b，且 D 为 BC 中点，则AD的长度为()A.152 B.152 C7 D8 答案：A 解析：AD12(ABAC)12(5a2ba3b)12(6ab)|AD|214(36a212abb2)2254.|AD|152.二、填空题：本大题共
7、4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b|3，则 ab_.答案：3 解析：ab2 3 32 3.14已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b(ab)0，则|b|的取值范围是_ 答案：0,1 解析：b(ab)0，abb2，即|a|b|cos|b|2，当 b0 时，|b|a|coscos(0,1，所以|b|0,1 15设向量 a 与 b 的夹角为，且 a(3,3)，2ba(1,1)，则 cos_.答案：3 1010 解析：设 b(x，y)，则 2ba(2x3,2y3)(1,1)，x1，y2，则 b(1,2)，
8、cosab|a|b|93 2 5 3103 1010.16关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题：若 abac，则 bc；若 a(1，k)，b(2,6)，ab，则 k3；非零向量 a 和 b 满足|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为 60，其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案：解析：a 与 b 的夹角为 1，a 与 c 的夹角为 2.abac，有|a|b|cos1|a|c|cos2，得不到 bc，错误 a(1，k)，b(2,6)，ab，ba，得 k3.正确 设|a|b|ab|m(m0)，且 a 与 ab 的夹角为.则有(ab)2a22abb2m2，2abm2.a(ab)a
9、2abm2m223m22，(ab)2a22abb2m2m2m23m2，cosaab|a|ab|32m2m 3m 32.30.错误 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知|a|4，|b|8，a 与 b 的夹角是 150，计算：(1)(a2b)(2ab)；(2)|4a2b|.解：(1)(a2b)(2ab)2a23ab2b2 2|a|23|a|b|cos1502|b|2 242348 32282 9648 3.(2)|4a2b|a2b2 16a216ab4b2 16|a|216|a|b|cos1504|b|2 1642 32482 8
10、(2 6)18(12 分)已知向量 a(3,2)，b(2,1)，c(3，1)，tR，(1)求|atb|的最小值及相应的 t 值；(2)若 atb 与 c 共线，求实数 t 的值 解：(1)a(3,2)，b(2,1)，c(3，1)，atb(3,2)t(2,1)(32t,2t)，|atb|32t2t2 5t28t13 5t452495 495 7 55，当且仅当 t45时取等号，即|atb|的最小值为7 55，此时 t45.(2)atb(32t,2t)，又 atb 与 c 共线，c(3，1)，(32t)(1)(2t)30，解得 t35.19(12 分)已知 a(1,1)、b(0，2)，当 k 为何
11、值时，(1)kab 与 ab 共线；(2)kab 与 ab 的夹角为 120.解：a(1,1)，b(0，2)kabk(1,1)(0，2)(k，k2)ab(1，1)(1)要使 kab 与 ab 共线，则k(k2)0，即 k1.(2)要使 kab 与 ab 的夹角为 120，|kab|k2k2，|ab|2，cos120kabab|kab|ab|kk22 k2k212.即 k22k20，解得 k1 3.20(12 分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1OP2OP30，|OP1|OP2|OP3|1，求证：P1P2P3是正三角形 证明：如图所示，设ODOP1OP2，由于OP1OP2OP30，O
12、P3OD，|OD|1，|OD|1|P1D|，OP1P230，同理可得OP1P330，P3P1P260.同理可得P2P3P160，P1P2P3为正三角形 21(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(ABtOC)OC0，求 t 的值 解：(1)由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则ABAC(2,6)，ABAC(4,4)，所以|ABAC|2 10，|ABAC|4 2，故所求的两条对角线的长分别为 4 2，2 10.(2)由题设知OC(2，1)，ABtOC(32t,5
13、t)由(ABtOC)OC0，得(32t,5t)(2，1)0，即 5t11，所以 t115.22(12 分)设集合 D平面向量，定义在 D 上的映射 f 满足：对任意 xD，均有 f(x)x(R 且 0)(1)若|a|b|，且 a、b 不共线，试证明：f(a)f(b)(ab)；(2)若 A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且 f(BC)AB，求 f(AC)AB.解：(1)证明：f(a)f(b)ab(ab)，f(a)f(b)(ab)(ab)(ab)(a2b2)(|a|2|b|2)0，f(a)f(b)(ab)(2)由已知得AB(2,4)，BC(1,2)，AC(3,6)f(BC)AB，BCAB.即(1,2)(2,4)，2.f(AC)AB(2AC)AB(6,12)(2,4)60.