1、6.3球的表面积和体积 (15分钟30分)1.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是()A.cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm【解析】选D.设球的半径为r,则V水=8r2,V球=4r3,加入小球后,液面高度为6r,所以r26r=8r2+4r3,解得r=4.【补偿训练】已知正方体外接球的体积是,则此正方体的棱长为()A.1B.C.D.【解析】选C.因为该正方体外接球的体积是,则该正方体外接球的半径R=2,正方体的体对角线的长为4,棱长等于.2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,则此三棱
2、锥的外接球的表面积为()A.6B.12C.18D.24【解析】选A.由题意,三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,看成是长方体的长宽高分别为1,所以长方体的外接球半径R=,所以此三棱锥的外接球的表面积S=4R2=6. 3. (2020全国卷)已知ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16,则O到平面ABC的距离为()A.B.C.1D. 【解析】选C.设ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径为R,ABC的边长为a,则SABC=a2=,可得a=3,于是r=,由题知,球O的表面积为16,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到
3、平面ABC的距离为1.4.面积为的正六边形的六个顶点都在球O的球面上,球心O到正六边形所在平面的距离为,则球O的表面积为_.【解析】如图OAB是正六边形的六分之一,为正三角形,设其边长为a,则6a2=,解得a=1,所以OB=,所以S球=4OB2=.答案:5.中国古代数学经典九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鐅臑.若三棱锥P-ABC为鐅臑,且PA平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,ABBC,则该鐅臑的外接球的表面积为_.【解析】因为ABBC,所以,直角三角形ABC的外接圆直径为AC=5,由于PA平面ABC,则该鐅臑的外接球的直径为2R=,因此,该鐅臑的外接球的表面积为4R2=(
4、2R)2=29.答案:296.一倒置圆锥体的母线长为10 cm,底面半径为6 cm.(1)求圆锥体的高;(2)一球刚好放进该圆锥体中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.【解析】(1)设圆锥体的高为h,底面半径为R,母线长为l,则h=8(cm).(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示,设球的半径为r,由OCDACO1得,=.所以=,解得r=3.圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积,即V圆锥-V球=628-33=96-36=60(cm3). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一
5、个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个棱柱【解析】选B.按旋转体的定义得到的是选项B所描述的几何体.2.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是()A.B.C.D.6【解析】选D.如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r=,所以该圆柱的体积为:V=Sh=()22=6.3.一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体,当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是()A.4B.6C.12D.24【解析】选C.因为正方体在正四面体内部任意旋转,当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球
6、即为正四面体的内切球.点O为正四面体内切球的圆心,连接PO并延长交底面ABC于点D,点D是底面三角形ABC的中心,所以PD底面ABC,所以OD为该正四面体内切球的半径.连接BO,则BO=OP.在RtBDP中,BD=6=2,PD=4.在RtBDO中,OB2=(PD-OB)2+BD2得OB=3,所以OD=,即正四面体的内切球半径为,即正方体的外接球半径为.所以当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是S=4r2=4()2=12.【补偿训练】设四棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱长为2,底面是边长为3的等边三角形,则该三棱柱外接球的体积为()A.B.C.8D.36【解析】选A.设三棱柱外接球的球心
7、为O,球半径为r,三棱柱的底面三角形ABC的中心为D,如图,有OA=r.由于三棱柱的高为2,所以OD=1.又在正三角形ABC中,AB=3,则AD=,所以在直角三角形ADO中,OA2=OD2+AD2,有r2=12+()2,所以r=2,则这个三棱柱的外接球的体积为V=r3=.4.两个半径都是r(r1)的球O1和球O2相切,且均与直二面角-l-的两个半平面都相切,另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切,同时与球O1和球O2都外切,则r的值为()A.+1B.+3C.D.【解析】选D.如图所示,过点O1,O2分别作O1Ml,O2Nl,垂足分别为点M,N,过点O分别作OAl,OBO1O2,
8、则|O1M|=|O2N|=r,|OA|=,|O1B|=|O2B|=r,|OO1|=|OO2|=r+1,|OB|=,|AB|=|OA|+|OB|=+=r,所以=r-,等式两边平方得2r+1=2r2-4r+2,化简得2r2-6r+1=0,由于r1,解得r=.【误区警示】一定要画出正确的截面图.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是图中的()【解析】选AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧棱相离.6.我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥
9、,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的说法正确的是()A.半径是3B.体积为18C.表面积为27D.表面积为18【解析】选ABC.由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对角线为球的直径2R,所以正方形的边长a=R,所以方锥的体积V=(R)2R=18,解得R=3,所以A选项正确;所以半球的表面积为S=4R2+R2=3R2=27,所以C选项正确;半球体积为球的体积的一半,即V半球=V球=R3=18,B选项正确.【光速解题】选项逐一验证,计算准确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是
10、_. 【解析】设大球的半径为R,则有R3=213,R3=2,所以R=.答案:8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,AD=BC=2,ABC=90,则该三棱锥的外接球的表面积为_,该三棱锥的体积的最大值为_.【解析】因为在三棱锥A-BCD中AB=CD=1,AD=BC=2,ABC=90,所以AC=,取AC中点O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD=,所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,球半径r=,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4r2=4=5.当平面ADC平面ABC时,三棱锥A-BCD的体积最大,设D到平面ABC的距离为h,则ADDC=ACh,解得h=.所以该三棱锥的体积的最大
11、值为:V=SABCh=ABBCh=12=.答案:5四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.【解析】因为AB2+BC2=AC2,所以ABC是以AC为斜边的直角三角形,其外接圆为过A,B,C的平面截球所得截面,2r=30,r=15.由题意得2+152=R2,解得R2=300,R=10.所以S=4R2=1 200,V=R3=(10)3=4 000.10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3 dm,水面直径2 dm,放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积.【解析】设铁球的半径为
12、r,则放入铁球后水深为3r,上底面半径为r,此时铁球与水的体积和为(r)23r=3 r3.原来水的体积为()23=3 ,铁球的体积为 r3,则3 +r3=3r3,解得r3=.所以铁球的体积V=.所以该铁球的体积为.1.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内接于球O,已知OAOB,ACBC,则三棱锥V-ABC的体积的最大值为_.【解析】圆锥的母线长为=2,设球O的半径为r,则=,解得r=1.因为OAOB,OA=OB=1,所以AB=,因为ACBC,所以C在以AB为直径的圆上,所以当平面OAB平面ABC时,O到平面ABC的距离最大为,故V到平面ABC的最大距离为+1.又C到AB的最大距离为,ABC面积最大为,所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为+1=.所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为.答案:2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上.若圆锥的底面面积是这个球表面积的,则这两个圆锥中,体积较小者与体积较大者的高的比值为多少?【解析】该几何体的轴截面如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r,由题意得r2=4R2,所以r=R.所以OO1=R.体积较小的圆锥的高AO1=R-R=R,体积较大的圆锥的高BO1=R+R=R,所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
