1、简单几何体的表面积与体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(多选题)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是()A这两部分的表面积也相等B截面可以是三角形C截面可以是五边形D截面可以是正六边形【解析】选AD.平面截这个正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面一定经过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等；根据对称性，截面不会是三角形、五边形，可以是六边形，如图2(2021温州高一检测)一个圆锥的母线与其轴所成的角为60，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为()A B C D【解析】选D.如图所示，设
2、圆锥的母线为l，底面圆半径为r，因为ABO60，所以sin 60，解得rl，因为底面圆的周长为2r，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为.3(2020合肥高一检测)圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为()A(1)4 B2C12 D(1)2【解析】选A.由题意圆锥的表面积为：R2R2R(1)R2，圆柱的表面积为：2R22RR4R2，所以圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为：(1)4.4(2021镇江高一检测)玻璃金字塔位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标玻璃金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能为地下设施提供良
3、好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，享誉世界金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为()A575 B625 C675 D725【解析】选C.如图，四棱锥PABCD，PO21米，AB34米，过O作OEBC，连接PE，则OEAB17米，PE米，所以四棱锥PABCD的侧面积为S434681 837.26平方米，又每块玻璃面积为2.72平方米，所以建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为675.二、填空题(每小题5分，共10分)5已知球在底面半径为1、高为2
4、的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【解析】已知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M为BC边上的中点，由题设BC2，AM2，则ABAC3，设内切球的圆心为O，故SABC222，设内切球的半径为r，则SABC(ABACBC)r(332)r2，解得r，故圆锥内半径最大的球的体积Vr3.答案：【加固训练】 (2021合肥高一检测)已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是_【解析】如图，DAE是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，因为DAE的边长是2，所以高DO，外接圆的半径是.故此圆锥外接球的体积为.答案：6粽子古称“角黍”，是中
5、国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为8 cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为_cm2，现在需要在粽子内部放入一颗蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为_【解析】由粽子的形状是所有棱长均为8 cm的正四棱锥，得每个侧面三角形的面积为8816 cm2.所以粽子的表面积为41688(6464)cm2；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，正四棱锥的高为h4 cm，设球的半径为r，所以四棱锥的体积V(6464)r644，解得r2(1)cm.
6、所以，即其半径与正四棱锥的高的比值为.答案：6464三、解答题(每小题10分，共20分)7(2021静安高一检测)如图，我们知道，圆锥是RtAOP(及其内部)绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体，我们现将直角梯形AOO1A1(及其内部)绕OO1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台，设O1的半径为r，O的半径为R，OO1h.(1)求证：圆台的体积Vh；(2)若R2，r1，h，求圆台的表面积S.【解析】(1)如图，因为PA1O1PAO，所以，得PO1，所以VR2POr2PO1R2r2h；(2)在PAO中，过点A1作A1BAO，B为垂足，则在RtABA1中，ABRr1，A1B，所以A1AB60，则PA4，PA12.所以该圆台的表面积S2RPA2rPA1R2r282411.8.一个正三棱锥PABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在正三棱锥PABC的三条侧棱上，A0，B0，C0分别在底面ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？【解析】设三棱锥的底面中心为O，连接PO，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则，令A1B1x，而POh，则PO1x，于是OO1hPO1hxh.所以所求三棱柱的侧面积为S3xh(ax)x.当x时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点
