1、密云区20162017学年度第一学期期末考试高一数学试卷第一部分 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据集合交集的概念，找到两个集合的公共元素，得到.故选A2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则 故得到定义域为 .故选C.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选D.4. 为了得到函数的图象，只需将的的图象上每一点（ ）A. 向左平移个单位长度
2、B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】这是同名函数的平移变换， ，根据左加右减，得到要将函数向左平移个单位长度故答案选B5. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 故零点在区间上。故答案选C6. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为函数式奇函数，在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，再根据可画出函数在上的图像，根据对称性画出在上的图像。根据图像得到的解集是：。故选A。7. 某市家庭煤气的使用量和煤气费(元) 满足关系，已知某家庭今年前三个月的煤
3、气费如下表： 月份用气量煤气费一月份元二月份元三月份元 若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（ ）元A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（xA），得： A=5，B= ，故x=20时：f（20）=4+（205）=11.5.故选：C点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。实际应用题型，一般是先根据题意构建模型，列出表达式，根据条件求解问题即可。8. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】A【解析】若函数f（x）=ax2（1x2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程ax2=（2x+1）a=x22x1在区间1，2上有解，令g（x）=x22x1，1x2，由g（x）=x22x1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值2，当x=2时，函数取最大值1，故a2，1，故选：A点睛：图像上存在关于轴对称的点，即方程ax2=（2x+1）a=x22x1在区间1，2上有解，转化为方程有解求参的问题，变量分离，画出函数图像，使得函数图像和常函数图像有交点即可；这是解决方程有解，图像有交点，函数有零点的常见方法。第
5、二部分 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9. 已知向量与的夹角为 ，且，；则_【答案】【解析】已知向量与的夹角为，则 ，已知模长和夹角代入式子即可得到结果为 故答案为1 。10. 若，且，则_【答案】【解析】根据三角函数恒等式 ，将代入得到 ，又因为，故得到 故答案为。11. 已知函数 一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为_【答案】【解析】由函数的图象可得A=1， T= ，解得：T=，解得=2图象经过（，1），可得：1=sin（2+），解得：=2k+，kZ，由于：|，可得：=，故f（x）的解析式为：f（x）=故答案为：f（x）=12. （如下
6、图）在正方形中，为边中点，若，则_【答案】【解析】 ，根据向量加法的三角形法则，得到 =1， 则+=故答案为：点睛：此题考查的是向量的基本定理及其分解，由条件知道，题目中要用和，来表示未知向量，故题目中要通过正方形的边长和它特殊的直角，来做基底，表示出要求的向量，根据平面向量基本定理，系数具有惟一性，得到结果。13. 已知函数，的图象如下图所示，则，的大小关系为_（用“”号连接）【答案】【解析】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，由指数函数y=ax，x=2时，y（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y（1，2）；可得a（1，2），b
7、（0，1），c（2，+）可得bac故答案为：bac14. 已知函数，对于上的任意，有如下条件：； ；其中能使恒成立的条件序号是_【答案】【解析】g（x）= （x）2cos（x）= x2cosx=g（x），g（x）是偶函数，g（x）图象关于y轴对称，g（x）=x+sinx0，x（0，g（x）在（0，上是增函数，在，0）是减函数，故x1|x2|；时，g（x1）g（x2）恒成立，故答案为：点睛：此题考查的是函数的单调性的应用；已知表达式，根据表达式判断函数的单调性，和奇偶性，偶函数在对称区间上的单调性相反，根据单调性的定义可知，增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越大函数值越小。三、解答题：本大
8、题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. 已知为锐角，且（I）求的值；（II）求的值【答案】（I）;（II）【解析】试题分析：（1）根据两角和差的正切公式，将式子展开，根据题干中的条件代入即可；（2）这是其次式的考查，上下同除以，得到正切的一个式子，根据题干中的正切值代入即可。（I） （II）因为，所以 16. 已知向量， （I）若，共线，求的值（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值【答案】（I）; （II）; （III）【解析】（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有 =0，结合向量数量积的坐标可得4x+
9、（2）1=0，即4x2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案。解：（I）与共线，（II）， （III）， 又， 17. 已知函数， （I）求函数的最小正周期（II）求函数的单调递增区间（III）求函数在区间上的最小值和最大值【答案】（I）的最小正周期;（II）的单调递增区间为;（III）;（I） 因此，函数的最小正周期（II）由得： 即函数的单调递增区间为 （III）因为 所以 所以18. 已知函数（I）比较，的大小（II）求函数的最大值【答案】（I）; （II）时，函数取得最大值【解析】试题分析：（1）将f（）
10、，f（）求出大小后比较即可（2）根据三角函数二倍角公式将f（x）化简，最终化得一个二次函数，根据二次函数的单调性，由此得到最大值解：（I）因为所以 因为，所以 （II）因为令，所以，因为对称轴， 根据二次函数性质知，当时，函数取得最大值19. 已知，为常数，且，（I）若方程有唯一实数根，求函数的解析式（II）当时，求函数在区间上的最大值与最小值（III）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）; （II）; （III）【解析】试题分析：（1）根据函数定理可得方程ax2（2a+1）x=0有唯一解，根据二次函数的解法解得即可，（2）根据二次函数的性质，函数的单调性，即可求得求得最值，（3
11、）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可。解：， （I）方程有唯一实数根，即方程有唯一解， ，解得 （II） ，若 若 （III）解法一、当时，不等式恒成立，即：在区间上恒成立，设，显然函数在区间上是减函数， 当且仅当时，不等式在区间上恒成立，因此 解法二：因为当时，不等式恒成立所以时，的最小值 当时，在单调递减，恒成立而所以时不符合题意 当时，在单调递增，的最小值为所以，即即可综上所述，点睛：此题考查的是函数的单调性和最值，和函数零点的问题；函数有解求参问题，可以转化为图像有交点问题；函数最值得求解问题，首先要研究函数的单调性，再得最值；恒成立求参问题，常用方法是变量分离，转化为求最值。20
12、. 如果定义在上的函数，对任意的，都有， 则称该函数是“函数”（I）分别判断下列函数：； ，是否为“函数”？（直接写出结论）（II）若函数是“函数”，求实数的取值范围（III）已知是“函数”，且在上单调递增，求所有可能的集合与【答案】（I）、是“函数”，不是“函数”; （II）的取值范围为;（III），【解析】试题分析：（1）根据“函数”的定义判定、是“ 函数”，不是“函数”；（2）由题意，对任意的xR，f（x）+f（x）0，故f（x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的xR，2cosx+2a0，即acosx即可得实数a的取值范围（3）对任意的x0，分（a）若xA且xA，（b）若xB且
13、xB，验证。（I）、是“函数”，不是“函数”（II）由题意，对任意的，即因为，所以故由题意，对任意的，即故实数的取值范围为 （）（）对任意的（a）若且，则，这与在上单调递增矛盾，（舍），（b）若且，则，这与是“函数”矛盾，（舍）此时，由的定义域为，故对任意的，与恰有一个属于，另一个属于（） 假设存在，使得，则由，故（a）若，则，矛盾，（b）若，则，矛盾综上，对任意的，故，即，则（）假设，则，矛盾故故， 经检验，符合题意点睛：此题是新定义的题目，根据已知的新概念，新信息来马上应用到题型中，根据 函数的定义即函数没有关于原点对称的部分即可，故可以从图像的角度来研究函数；第三问可以假设存在，最后推翻结论即可。
