1、2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷 考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚. 得 分评 卷 人 2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一. 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1计算 .2若关于x的一元二次实系数方程有一个根为(是虚数单位)，则 .3若关于x的不等式的解集为，则实数 .4函数的最小正周期为 .5设函数是奇函数. 若，则 .6在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P的横坐标 .7在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只
2、有一个公共点，则 实数 .8若向量，满足，则向量，的夹角的大小为 .9若为方程的两个实数解，则 .10在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表 演节目. 若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有 人.11函数 的反函数是 . 得 分评 卷 人二选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12若集合，则“”是“”的 (A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件. (C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件. 答 ( )13如图，
3、平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分、 (不 包括边界）. 若，且点落在第部分，则实数满足 (A) . (B) . (C) . (D) . 答 ( )14下列四个函数中，图像如图所示的只能是 (A) . (B) . (C) . (D) . 答 ( )15设是正实数，以下不等式 ， ， ， 恒成立的序号为 (A) 、. (B) 、. (C) 、. (D) 、.答 ( )三解答题 (本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 得 分评 卷 人 16. (本题满分12分) 如图，在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）
4、. 解 得 分评 卷 人 17. (本题满分14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”. 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. 解 得 分评 卷 人 18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小
5、题满分8分.xy 如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求的面积. 解 (1) (2) 得 分评 卷 人 19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分10分.图1 某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， 、和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.图2(1) 求
6、证：四边形是正方形；(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解 (1) (2) 得 分评 卷 人 20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分4分，第3小题满分8分. OCBA 通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1) 如图，在以为圆心、半径为2的中，和是的弦，其中，求弦的长； (2) 在中，若是钝角，求证：； (3) 给定三个正实数，其中. 问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在存在的情况下，用表示. 解 (1) (2) (3)得 分评 卷 人 21. (本
7、题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分. 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 第1列第2列第3列第列第1行1111第2行第3行第行 (1) 设第2行的数依次为，试用表示的值； (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）. 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能
8、找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由. 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由. 解 (1) (2) (3) 选择第（ ）问.2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷 参考答案及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面
9、部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第16题至第21题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一( 第1至11题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. . 2. 2. 3. 4. 4. . 5. . 6. 5. 7. 2. 8. . 9. . 10. 120. 11. 二( 第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号12131415 代 号ABBD三( 第16至21题）16. 解法一 如图建立空间直角坐标系. 2分由题意可知. . 6分 设直线与所成角为，则 . 10分 ， 即异面
10、直线与所成角的大小为. 12分解法二 连接， 2分 ，且，是平行四边形，则， 异面直线与所成的角就是与所成的角. 6分 由平面，得. 在中，则 ， 10分 . 异面直线与所成角的大小为. 12分17. 评分说明：() 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.() 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.解 点到直线的距离为. 4分 “逆向”问题可以是： (1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程. 10分 解 设所求轨迹上任意一点为，则， 所求轨迹
11、为或. 14分 (2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程. 10分 解 ，化简得，或， 所以，直线的方程为或. 14分 意义不大的“逆向”问题可能是： (3) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ 6分 解 因为， 所以点是到直线的距离为2的一个点. 10分 (4) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ 6分 解 因为， 所以点不是到直线的距离为2的一个点. 10分 (5) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ 6分 解 因为， 所以点不是到直线的距离为2的一个点. 10分xy18. (1) 解法一 轴， 的坐标为. 2分 由题意可知 得 所求椭圆方程为. 6分解法二由椭圆定义可知. 由题意，.
12、2分 又由可知 ， ，又，得. 椭圆的方程为. 6分解 (2) 直线的方程为. 8分由 得点的纵坐标为. 10分又，. 14分图219. 证明 (1) 图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，为等腰直角三角形， 四边形是正方形. 4分 解 (2) 设，则，每块地砖的费用为，制成、和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)， 6分 10分 . 由，当时，有最小值，即总费用为最省. 答：当米时，总费用最省. 14分20. 解 (1) 的外接圆半径为2，在中，OCBA， 3分 . 6分证明 (2) ，由于是钝角，都是锐角，得 ， ， ， ，即. 10分解 (3) ）当或时，所
13、求的不存在. ）当且时，所求的只存在一个，且.）当且时，且都是锐角，由，唯一确定. 因此，所求的只存在一个，且. 14分 ）当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的存在两个. 由，得 当时， . 当时， . 18分21. 解 (1) ， 所以 . 4分 (2) ， ， 7分 由 ， 得 . 10分 (3) 先设成等比数列，由，得 ， . 此时 ， 所以是一个公比为的等比数列. 13分 如果，为等比数列，那么一定是等比数列. 由上所述，此时， 由于， 因此，对于任意，一定不是等比数列. 16分 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列. 18分 设和分别为第列和第列的前三项，则， . 13分若第列的前三项是等比数列，则由，得 ， ， . 16分 同理，若第列的前三项是等比数列，则. 当时，. 所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列. 18
