1、杨浦区2021学年度第二学期高三年级期末调研卷数学学科试卷 2022.6考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1. 若集合，则_. 2. 复数，则_.3. 直线的参数方程为，则直线的斜率为_.4. 的二项展开式中, 项的系数为_.5. 若圆锥的母线长为，底面半径为，则该圆锥的体积为_.6. 函数的反函数是=_.7. 设，若行列式，则行列式的值为_.8. 已知集合，从集合中
2、任取一个元素，使函数是奇函数且在上递增的概率为_.9. 等差数列的前项和为，若，且，则_.10. 已知点为正边上或内部的一点，且实数满足，则的取值范围是_.11. 设点是曲线上的动点，点，满足，则点的坐标为_.12. 函数的值域中仅有个不同的值，则的最小值为_.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13. “ ”是“ 为第一象限角”的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件14. 下列不等式恒成立的是 （ ）A. B. C. D. 15.
3、上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于. 立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是 （ ）A. 总体均值为，中位数为 B. 总体均值为，总体方差大于C. 总体中位数为，众数为 D. 总体均值为，总体方差为16. 记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数. 判断如下两个命题真假 函数包裹函数 的充要条件是； 若对于任意， 对任意都成立，则函数 包裹函数；则下列选项正确的是 （ ）A. 真假 B. 假真 C. 全假 D. 全真三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17. （
4、本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，正四棱柱的底面边长，侧棱长，中点为，中点为. （1）求证：平面平面；（2）连结，求直线与平面所成的角的大小. 18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数. （1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；（2）中内角所对的边分别为，且，求当时,的面积.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.地在观测站正北方向，且距离观测站公里处，地在观测站北偏东方向，且距离观测站公里. 观测站派出一辆
5、观测车（记为点）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记为观测角. （1）当观测车行驶至距观测站公里时，求观测角的大小；（精确到）. （2）为了确保观测质量，要求观测角不小于 ，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，中心在原点的椭圆 的右焦点为，长轴长为. 椭圆上有两点，连结，记它们的斜率为，且满足. （1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为一定值，并求出这个定值；（3）设直线与椭圆的另一个交点为，直线 和分别与直线 交于点，若和的面积相等，求点的横坐标. 21. （本题满分18分）本
6、题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列满足：，或，对一切都成立. 记为数列的前项和. 若存在一个非零常数，对于任意， 成立，则称数列为周期数列， 是一个周期.（1）求、所有可能的值，并写出的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若，且存在正整数，使得与均为整数，求的值；（3）记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合为无穷集合”.杨浦区高三期末调研评分参考一、 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分1. 2. 3. 4. 180 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题满分20
7、分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13. A 14. B 15. D 16. D三、 解答题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解：（1）以为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则 （2分） 同理 （2分）平面与平面不重合，平面与平面平行. （2分）（2）同（1）建系设平面的一个法向量为，则，得 不妨取，则 （4分）又 设直线与平面所成的角为故 （2分）直线与平面所成的角为. （2分）18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小
8、题满分8分.解：（1）， 时， 偶函数 （2分） 时， 不是奇函数 （2分） 不是偶函数 （2分）函数非奇非偶函数；（2）由，得，因为，所以则， （4分）由，解得 （2分）. （2分） 19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则，则, （2分） （2分）故观测角 （2分）（2）设 时， （2分） 时， ，为锐角 ,设 （2分）当时，符合上式，综上 ， 整理得 （2分） 所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为公里.（2分）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解
9、：（1）由已知条件，设椭圆 ：，则 （2分）椭圆 ： （2分）（2）设则，整理得，由 （2分）解得 （2分）代入，为定值. （2分）（3）由椭圆的对称性可知， ，故，于是 （2分）又 （2分）代入，再将 代入得. 若，化简得，方程无解；若，化简得解得： （舍去）点横坐标为. （2分）(3)法二 或者 或者 或者 （舍）解得：点横坐标为21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）； （2分）； （2分）（2）首先证明：和中至少一个等于1. （2分）反证法：设和都大于等于2，则，即，相加得，矛盾！ （2分）所以 和中至少一个等于1. 不妨设 ，则，即那么，所以. （2分）（3）非充分：取数列如下：，. 数列满足条件，且对一切，均有，但不为周期数列； （3分）必要性：已知数列为周期数列，设正整数为其一个周期. 分如下三步证明下证：若，则；若数列满足：，或 由可得：所以时： 时，即对一切， （2分） 利用上式可知：. （1分） 下证：若，则；由条件：，或可得：. 1分由，或，可知，周期. 由，且，由可知，由可知，所以，对一切，即集合为无穷集合. 1分
