1、第四章章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5C4i D4iA解析 由题意知z22i，所以z1z25.故选A项2若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位)，B1，1，则AB()A1 B1C1，1 DC解析 因为Ai，1，i，1，B1，1，所以AB1，1故选C项3定义：adbc.若复数z满足12i，则z()A1i B1iC3i D3iA解析 因为adbc，所以zi(i)12i，得z1i.故选A项4若复数z
2、，则z2 020()A1 B0C1 D(1i)1 010A解析 因为zi，所以z2 020i2 020(i2)1 0101.故选A项5若一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z(1ai)i为“等部复数”，则实数a的值为()A1 B0C1 D2A解析 因为z(1ai)iai，所以a1.6设复数z满足z|2i，则z()Ai BiCi DiB解析 因为z|2i，所以z2|i，设zxi，则x2，解得x.故选B项7(2016全国卷)若z12i，则()A1 B1Ci DiC解析 i.8若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0C1 D2B解析 由于(2ai)(a2i)
3、4a(a24)i4i，所以解得a0.故选B项9已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析 当ab1时，(abi)2(1i)22i；反过来，(abi)2a2b22abi2i，则a2b20，2ab2，解得a1，b1或a1，b1.故ab1是(abi)22i的充分不必要条件故选A项10复数z12，z22i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是()A B3iC1i D3iD解析 因为z1(i)21，z22i，所以对应的复数是z2z12i(1)3i.故选D项11设集合My|y|cos2xsin2x
4、|，xR，N，则MN()A(0，1) B(0，1C0，1) D0，1C解析 对于集合M，函数y|cos 2x|，其值域为0，1，所以M0，1由于|xi|x|，故1x1，所以N(1，1)，则MN0，1)12下面是关于复数z的四个命题，其中的真命题为()p1：|z|2；p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i；p4：z的虚部为i.Ap2，p3 Bp1，p3Cp2，p4 Dp3，p4A解析 因为z1i，所以|z|，z22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，真命题为p2，p3.故选A项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯
5、虚数，则实数a的值为_.解析 由题意知，复数(12i)(ai)a2(12a)i是纯虚数，则实部a20，虚部12a0，解得a2.答案 214已知z，则|z|_.解析 |z|2.答案 215下面四个命题：0比i大；两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；xyi1i的充要条件为xy1；任何纯虚数的平方都是负实数其中错误命题的序号是_.解析 实数与虚数不能比较大小；两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有表明x，y是否为实数；若zbi(b0)为纯虚数，则z2b20，故均错误，正确答案 16设z是复数，a(
6、z)表示满足zn1时的最小正整数n，i是虚数单位，则a_.解析 因为i，所以aa(i)，因为a(z)表示满足zn1的最小正整数n，所以当n4时，满足in1第一次成立，所以a(i)4.答案 4三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知zC，解方程z3i13i.解析 设zxyi(x，yR)将zxyi代入原方程，得(xyi)(xyi)3i(xyi)13i，整理得x2y23y3xi13i.根据复数相等的定义，得由得x1.将x1代入式，解得y0或y3，则z11，z213i.18(12分)已知i是虚数单位，复数z1满足(z12)(1i)1i.(1)求|z
7、1|；(2)若复数z2的虚部为2，且为实数，求z2.解析 (1)z122i，所以|z1|.(2)设z2a2i(aR)，则i，因为是实数，所以a40，即a4，所以z242i.19(12分)图中复平面内点Z表示复数z，若复数(mR)对应的点在第二象限，求实数m的取值范围解析 由图可得z12i，所以，又复数对应的点在第二象限，所以所以3m0，故实数m的取值范围为(3，0)20(12分)若关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值解析 由得解得将上述结果代入中得54a(104b)i98i.由两复数相等得解得21(12分)在复平面上，已知平行四边形的三个顶点A，B，C对应的复数分别为i，1，42i，求
8、第四个顶点D对应的复数及此平行四边形的对角线的长解析 由题知平行四边形三个顶点分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，设点D的坐标为(x，y)如图所示，A，B，C，D四点构成的平行四边形有三种情形：当平行四边形四个顶点的排列为ABCD时，即如图所示ABCD1.由得(1，1)(x4，y2)，得得即D1(3，3)，对应的复数为33i，此时(2，3)，(4，1)，则此平行四边形的对角线长分别为|，|；当平行四边形的四个顶点排列为ABDC时，即如图所示ABD2C，同理，可得D2(5，1)，对应的复数为5i，此时(3，2)，(5，0)，则此平行四边形的对角线长分别为|，|5；当平行四边形的四个顶点排列为ADBC时，即如图所示AD3BC，同理，可得D3(3，1)，对应的复数为3i，此时(1，1)，(7，3)，则此平行四边形的对角线长分别为|，|.22(12分)已知复数z12i，2z2.(1)求z2；(2)已知ABC的三个内角A，B，C满足AC2B，且ucos A2icos2 ，求|uz2|的取值范围解析 (1)z2i.(2)在ABC中，AC2B，所以2BACB，所以B，AC.所以uz2cos A2icos2 icos AicosC所以|uz2|2cos2Acos2C11cos 2Asin 2A1cos.又因为A，所以1cos.所以|uz2|2，即|uz2|.故|uz2|的取值范围为.
