1、上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数_【答案】2【解析】【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.【详解】由题意得，所以故答案为：2.2. 若，则与垂直的单位向量的坐标为_.【答案】或【解析】【详解】试题分析：与垂直的单位向量的坐标为则解得或,故答案为或.考点：（1）数量积判断两个平面向量的垂直关系；（2）单位向量.3. 将写成的形式，其中，则_【答案】【解析】【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.【详解】因为，所以故答案为：.4. 已知，则_【答案】#-0.25【解析
2、】分析】根据已知等式进行凑角，利用和差公式展开结合商数关系式即可得所求.【详解】解：因为，所以，所以，则，所以故答案为：.5. 若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量_【答案】【解析】【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.【详解】函数的图象平移后，得到函数的图象,则要向左平移1个单位，向下平移2个单位故故答案为：.6. 已知在所在平面内，则是的_心【答案】垂【解析】【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.【详解】由得：，即，则，由同理可得：，所以是的垂心.故答案为：垂7. 函数的严格减区间是_【答案】【解析】【分析】结合函数的定义域和复合函
3、数的单调性即可求解.【详解】令，则为增函数，欲求的减区间，则求的减区间由题意得定义域为，解得所以减区间为所以函数的严格减区间是.故答案为：.8. 已知，则向量在向量方向上的投影是_【答案】.【解析】【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.【详解】解：根据投影公式，向量在向量方向上的投影是.故答案为：9. 已知两个不相等的非零向量、，两组向量、和、均由2个和2个排列而成，记，则最多有_个不同的值【答案】3【解析】【分析】由题意分析即可得的各种取值情况，即可得符合条件的个数.【详解】解：由题意可知， 有三个值，分别为、故最多有3个不同的值故答案为：3.10. 设，函数，若方程有且只有两个不
4、相等的实数根，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】问题可转化为在上的图象与直线仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得解【详解】由题意得，在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，设，则在上的图象与直线仅有两个交点，作出及直线的图象如下图所示，由图象可知，故答案为：【点睛】方法与易错点点睛：转化为在上的图象与直线仅有两个交点是解题的关键，易错点：结果的开闭区间要注意.11. 如图，已知是半径为2圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值域是_.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可【详解】以圆心为原点，平行的直
5、线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，且，在，上递增，在，上递减，当时，的最小值为，当时，的最大值为，则，故答案为：，【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.12. 在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为_【答案】【解析】【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.【详解】设，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为如图所示根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，即 （
6、点、分别是点、在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，则，当且仅当点、依次在一条直线上时，等号成立所以，即所求实数的最大值是故答案为：【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13. 若在中，是的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】C【解析】【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知所以，“”是“”的充
7、要条件故选：C14. 下列等式中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得，所以是正确；根据向量的数量积的运算律，可得是正确；由向量的数量积的运算公式，可得，所以不恒成立；由，所以是正确的。故选：C。【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15. 定义运算：，对于函数和，把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则A. B.
8、C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意将写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.【详解】由题意,先化简,则.故故.故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可.属于中等题型.16. 已知、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、，使得，则三个角、A. 都是钝角B. 至少有两个钝角C. 恰有两个钝角D. 至多有两个钝角【答案】B【解析】【分析】根据，移项得，两边同时点乘，得0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定BOC、COA至少有一个为钝角，同理可证明AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、CO
9、A至少有一个为钝角，从而得到结论详解】123，两边同时点乘，得，即|cosCOA+cosBOC0，BOC、COA至少有一个为钝角，同理AOB、BOC至少有一个为钝角，AOB、COA至少有一个为钝角，因此AOB、BOC、COA至少有两个钝角故选B【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17. 已知：、是同一平面内的两个向量，其中（1）若且与垂直，求与的夹角 ；（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，
10、即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.【小问1详解】解：由得，即 ，所以，得，又，所以；【小问2详解】解：因为，所以所以，则，由得，由与与的夹角为锐角，所以18. 在中，分别为内角所对的边，且（1）求的大小；（2）现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解（2）选择（1）（3），利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（1）（2），利
11、用正弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（2）（3），三角形不存在【小问1详解】由正弦定理可得：，得，又，得，又，所以；【小问2详解】（i）选择（1）（3），将，代入可得，解得，所以，（ii）选择（1）（2），由，又，所以，（iii）选择（2）（3），由，可得，所以由正弦定理可得即与矛盾，故这样的三角形不存在19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c若，求(1)的值；(2)求角A的值【答案】（1）1:2:3；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得的值.（2）由（1）可得：，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得，解得，分类讨
12、论可求A的值.【详解】（1），由正弦定理可得：，.可得：.（2）由（1）可得：， 解得：，或，当，舍去；当，当，则，则，矛盾，综上，.【点睛】本题第一问考查正弦定理得边化角公式，第二问考查了正切的两角和公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题.20. 已知，若满足成立，则称通过变换到.（1）若向量通过变换到，且，求和的值；（2）通过变到 ，通过变到 （其中与不平行），猜想 的面积与 的面积的比，并说明理由.【答案】（1），； （2） ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据“变换”的定义和向量共线的法则求解，（2）根据“变换”定义，再求出 与 的夹角，以及 与 的夹角，再根据三角形面积公式计算.
13、【小问1详解】由题意得， ,即则 ，此时，综上所述，；【小问2详解】由题意得， ，则 ，得 ，同理可得 ， ，所以，所以 ，则 ，得 ；综上， .21. 已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）当，求实数与正整数，使在恰有个零点【答案】（1）， （2）【解析】【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解；(2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解.【小问1详解】，当时，因为，取，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后，【小问2详解】由（1）得，不妨设或，显然若，则在上必有偶数个零点，所以中至少有一个为或，不妨设，当，则（舍）；当，则，此时在上有3个零点，又，即，综上所述，
