1、2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）A1B1CD22已知A=1，+），若AB，则实数a的取值范围是（）A1，+）BCD（1，+）3已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值为（）A1B1C3D74若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（）A10B16C20D355若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBCD6等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6
2、，S6=3，则S10=（）AB0C10D157一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABC28D8对函数f（x），如果存在x00使得f（x0）=f（x0），则称（x0，f（x0）与（x0，f（x0）为函数图象的一组奇对称点若f（x）=exa（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（e，+）D1，+）9若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A0条B1条C2条D1条或2条10已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E=（）A3BCD411锐角ABC中，内角A，B，C的对
3、边分别为a，b，c，且满足（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A（5，6B（3，5）C（3，6D5，612已知函数f（x）=xlnxaex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）AB（0，e）CD（，e）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13等比数列an满足an0，且a2a8=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a9=14不共线向量，满足，且，则与的夹角为15在的展开式中，常数项为16已知关于x的方程（t+1）cosxtsinx=t+2在（0，）上有实根则实数t的最大值是三、解答题（本大题
4、共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知，函数f（x）=（）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（）若方程f（x）=在（0，）上的解为x1，x2，求cos（x1x2）的值18某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人（）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；（）根据抽取的180名学生的调查
5、结果，完成下列列联表并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上（）求证：BPCE；（）求二面角BPCD的余弦值20如图，抛物线E：y2=2px（p0）
6、与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M（）求p的值；（）求动点M的轨迹方程21已知f（x）=ln（x+m）mx（）求f（x）的单调区间；（）设m1，x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证：x1+x20选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0，m）（m0）
7、对称的直线为l若直线l上存在点P使得APB=90，求实数m的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）若当x0，1时，不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）A1B1CD2【考点】复数的基本概念【分析】先求出（1+mi）（i+2）=2m+（2m+1）i，再由复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，能求出实数m【解答】解：i为虚数
8、单位，（1+mi）（i+2）=2m+（2m+1）i，复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，实数m=2故选：D2已知A=1，+），若AB，则实数a的取值范围是（）A1，+）BCD（1，+）【考点】交集及其运算【分析】根据A与B的交集不为空集，求出a的范围即可【解答】解：A=1，+），且AB，2a11，a1，故选：A3已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值为（）A1B1C3D7【考点】简单线性规划【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：画出不等式组件，表示的可行域，由图可知，当直线y=
9、x，过A点（3，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为321=1故选：B4若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（）A10B16C20D35【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时不满足条件in，退出循环，输出S的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=4，i=2，满足条件i=24，S=10，i=3，满足条件i=34，S=16，i=4，满足条件i=44，S=20，i=5不满足条件i=55，输出S=20，故选：C5若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据
10、题意，由双曲线的离心率可得c=a，进而结合双曲线的几何性质可得b=a，再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案【解答】解：根据题意，该双曲线的离心率为，即e=，则有c=a，进而b=a，又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y=x；故选：B6等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，S6=3，则S10=（）AB0C10D15【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S10的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，S6=3，解得a1=3，d=1，S10=103+=15故选：D7一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该
11、几何体的体积为（）ABC28D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，即可求出体积【解答】解：由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，体积为=，故选A8对函数f（x），如果存在x00使得f（x0）=f（x0），则称（x0，f（x0）与（x0，f（x0）为函数图象的一组奇对称点若f（x）=exa（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（e，+）D1，+）【考点】函数与方程的综合运用【分析】
12、由方程f（x）=f（x）有非零解可得e2x2aex+1=0有非零解，令ex=t，则关于t的方程t22at+1=0有不等于1的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围【解答】解：f（x）=exa存在奇对称点，f（x）=f（x）有非零解，即exa=aex有非零解，e2x2aex+1=0有非零解设ex=t，则关于t的方程t22at+1=0在（0，1）（1，+）上有解；，解得a1若t=1为方程t22at+1=0的解，则22a=0，即a=1，此时方程只有一解t=1，不符合题意；a1综上，a1故选B9若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A0条B1条C2条D1条或2条
13、【考点】直线与平面平行的判定【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD平面EFGH，AB平面EFGH，得到结果【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EFGF，EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD，EF平面ACD，平面BCD平面ACD=CD，EFCD，CD平面EFGH，同理AB平面EFGH，故选C10已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E=（）A3BCD4【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意知的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E【解答】解：由题意知的可能取值为2，3，4，P
14、（=2）=，P（=3）=（）=，P（=4）=1P（=2）P（=3）=1=，E=故选：C11锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A（5，6B（3，5）C（3，6D5，6【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2a2=bc再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B），利用B的范围，可求2B的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围【解答】解：（ab）（sinA+sinB）=（cb）sinC，由正弦定理
15、可得：（ab）（a+b）=（cb）c，化为b2+c2a2=bc由余弦定理可得：cosA=，A为锐角，可得A=，由正弦定理可得：，可得：b2+c2=（2sinB）2+2sin（B）2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B），B（，），可得：2B（，），sin（2B）（，1，可得：b2+c2=4+2sin（2B）（5，6故选：A12已知函数f（x）=xlnxaex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）AB（0，e）CD（，e）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=在（0，+）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，
16、从而求出a的范围即可【解答】解：f（x）=lnxaex+1，若函数f（x）=xlnxaex有两个极值点，则y=a和g（x）=在（0，+）有2个交点，g（x）=，（x0），令h（x）=lnx1，则h（x）=0，h（x）在（0，+）递减，而h（1）=0，故x（0，1）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）递增，x（1，+）时，h（x）0，即g（x）0，g（x）递减，故g（x）max=g（1）=，而x0时，g（x），x+时，g（x）0，若y=a和g（x）在（0，+）有2个交点，只需0a，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13等比数列an满足an0，且a2a8=4，则log
17、2a1+log2a2+log2a3+log2a9=9【考点】数列的求和【分析】根据题意，由等比数列an的性质可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=a52=4，同时可得a5=2，再利用对数的运算法则有log2a1+log2a2+log2a9=log2（a1a2a9）=log2（29），计算即可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an的各项都是正数，a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=a52=4，则a5=2，则log2a1+log2a2+log2a9=log2（a1a2a9）=log2（29）=9，故答案为：914不共线向量，满足，且，则与的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】
18、设与的夹角为，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cos的值，可得的值【解答】解：设与的夹角为，不共线向量，满足，且，则（0，），（2）=2=2|cos=2cos=0，cos=，=，故答案为：15在的展开式中，常数项为5【考点】二项式定理的应用【分析】的展开式中的通项公式：Tr+1=（1）4r（r=0，1，2，3，4）的通项公式：Tk+1=（1）kxr2k，令r2k=0，即r=2k进而得出【解答】解：的展开式中的通项公式：Tr+1=（1）4r（r=0，1，2，3，4）的通项公式：Tk+1=（1）kxr2k，令r2k=0，即r=2kr=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2常数
19、项=1+1=5故答案为：516已知关于x的方程（t+1）cosxtsinx=t+2在（0，）上有实根则实数t的最大值是1【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】分离参数可得t=，利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可【解答】解：（t+1）cosxtsinx=t+2，t=，令f（x）=，则f（x）=，令g（x）=sinx+2cosx1，则g（x）=cosx2sinx，当x=arctan时，g（x）=0，当0xarctan时，g（x）0，当arctanx时，g（x）0，g（x）在（0，arctan）上单调递增，在（arctan，）上单调递减，又g（0）=1，g（）=3，g（x）在（0，）上只有
20、一个零点，又g（）=0，当0x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当0x时，f（x）0，当x时，f（x）0f（x）在（0，）上单调递增，在（，0）上单调递减，当x=时，f（x）取得最大值f（）=1t的最大值为1故答案为1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知，函数f（x）=（）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（）若方程f（x）=在（0，）上的解为x1，x2，求cos（x1x2）的值【考点】两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算【分析】（）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x），
21、利用正弦函数的对称性即可得解（）由条件知，且，可求，利用诱导公式即可化简求值得解【解答】解：（）=，令，得，即y=f（x）的对称轴方程为，（kZ）（）由条件知，且，易知（x1，f（x1）与（x2，f（x2）关于对称，则，18某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人（）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；（）根据抽取
22、的180名学生的调查结果，完成下列列联表并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验【分析】（）计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数；（）根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论【解答】解
23、：（）由条件知，抽取的男生为105人，女生为180105=75人；男生选择社会科学类的频率为，女生选择社会科学类的频率为；由题意，男生总数为人，女生总数为人，所以，估计选择社会科学的人数为人；（）根据统计数据，可得列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180计算观测值，所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关19如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将ABE折起至PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上（）求证：BPCE；（）求二面角BPCD的余弦值【考点】二面角的平面角及
24、求法；直线与平面垂直的性质【分析】（）点P在平面BCDE的射影O落在BE上，证明CE平面PBE，推出PBCE（）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角BPCD的余弦值即可【解答】解：（）由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上，平面PBE平面BCDE，易知BECE，CE平面PBE，而BP平面PBE，PBCE（）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系则，设平面
25、PCD的法向量为则，即，令，可得设平面PBC的法向量为则，即，令，可得考虑到二面角BPCD为钝二面角，则二面角BPCD的余弦值为20如图，抛物线E：y2=2px（p0）与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M（）求p的值；（）求动点M的轨迹方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解p（）设，y10，y20切线l1：，代入y2=2x，求出，得到l1方程为，同理l2
26、方程为，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x0x+y0y=8，联立方程利用韦达定理，代入可知M（x，y）满足，求出动点M的轨迹方程【解答】解：（）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解得p=1，（）设，y10，y20切线l1：，代入y2=2x得，由=0解得，l1方程为，同理l2方程为，联立，解得，CD方程为x0x+y0y=8，其中x0，y0满足，联立方程得，则，代入可知M（x，y）满足，代入得，考虑到，知动点M的轨迹方程为，21已知f（x）=ln（x+m）mx（）求f（x）的单调区间；（）设m1，x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证：x1+x20【考点】利
27、用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【分析】（）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（）构造函数g（x）=emxx，g（x）=emxx与y=m图象两交点的横坐标为x1，x2，问题转化为证明令，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）f（x）=ln（x+m）mx，当m0时，即f（x）的单调递增区间为（m，+），无减区间；当m0时，由f（x）=0，得，时，f（x）0，时，f（x）0，m0时，易知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，（）由（）知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为不妨设mx1x2，由条件知，即，构造函数g（x）=emxx，g（x）=emxx与y=
28、m图象两交点的横坐标为x1，x2，由g（x）=emx1=0可得，而m2lnm（m1），知g（x）=emxx在区间上单调递减，在区间上单调递增可知欲证x1+x20，只需证，即证，考虑到g（x）在上递增，只需证由g（x2）=g（x1）知，只需证令，则，即h（x）单增，又，结合知h（x1）0，即成立，即x1+x20成立选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0，m）（m0）对称的直线为l若直线l上存在点P使得APB
29、=90，求实数m的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由=4cos得2=4cos，即可求出圆C的直角坐标方程；（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB=90的充要条件是直线l与圆C有公共点，即可求实数m的最大值【解答】解：（1）由=4cos得2=4cos，即x2+y24x=0，即圆C的标准方程为（x2）2+y2=4（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB=90的充要条件是直线l与圆C有公共点，故，于是，实数m的最大值为选修4
30、-5：不等式选讲23已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）若当x0，1时，不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式，进一步分类求解含参数的不等式得答案；（2）把不等式f（x）1恒成立转化为|ax2|3，记g（x）=|ax2|，可得，求解不等式组得答案【解答】解：（1）要使原函数有意义，则|ax2|4，即4ax24，得2ax6，当a0时，解得，函数f（x）的定义域为；当a0时，解得，函数f（x）的定义域为（2）f（x）1|ax2|3，记g（x）=|ax2|，x0，1，需且只需，即，解得1a5，又a0，1a5，且a02017年4月11日
