1、江苏省南通市崇川区2022高三第一学期期中质量监测数学试题2022.11.14本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保
2、持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，.若，则实数a的取值集合为（ ）A.B.C.D.3.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳
3、的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年?（参考数据：）（ ）A.28B.29C.30D.315.如图是函数的大致图象，则函数的解析式可以为（ ）A.B.C.D.6.已知，则（ ）A.B.C.D.7.已知正六棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60.圆柱的上底面圆与正六棱锥的侧面均相切，下底面圆O在该正六棱锥底面内，则圆柱体积的最大值为（ ）A.B.C.D.8.若
4、，其中，则（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，则（ ）A.B.C.D.10.已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，.若是奇函数，与图象的交点为，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.的图象关于直线对称D.11.在圆O的内接四边形中，则（ ）A.B.四边形的面积为C.D.12.在矩形中，E为DC的中点.将绕直线BE旋转至的位置，F为的中点，则（ ）A.存在某个位置，使得B.存在无数个位置，使得平面C
5、.当二面角为120时，点F到平面的距离为D.当四棱锥的体积最大时，以为直径的球面与被平面截得的交线长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知为单位向量，向量在上的投影向量为，且，则_.14.莱因德纸草书（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三分之和的是较小的两份之和，则最小的一份为_.15.已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为_.16.已知函数，若直线是曲线的切线，则_；若直线与曲线交于，两点，且，则a的取值范围是_.四、解答题：本题共6小
6、题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列的前n项和为，且.（1）求证：是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，求证：.18.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若点D在AC边上，满足，且，求的值.19.（12分）已知函数，分别是的极大值点和极小值点.（1）若，求的值；（2）若，求a的取值范围.20.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，O为BD中点.（1）求二面角的正弦值；（2）E为内的动点（包含边界），且平面，求OE与平面所成角的正弦值的最大值.21.（12分）已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A
7、，B两点.（1）若，求l的方程；（2）若点，直线AP交直线于点Q.设直线QA，QB的斜率分别，求证：为定值.22.（12分）已知函数的极值为.（1）求p的值，并求的单调区间；（2）若，证明：.数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1-4 DCAC 5-8 CBBD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.ACD 10.BC 11.ABD 12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.答案不唯一，一般形式16.；四、解答题：本题共6小题，共70分。17.（10分）【解】（1）因为，所以时，得，即，2分所以，在式中，令，得，所
8、以数列是以1为首项为公差的等差数列.4分所以，所以.6分（2）由，8分所以.因为，所以，得证.10分18.（12分）【解】（1）因为，由正弦定理，可得，即，2分所以.因为，所以，4分即.因为，所以，所以，即.6分（2）因为点D在AC边上，满足，所以，7分所以，因为，所以，即，解得，即.9分在中，由余弦定理，得，即，所以.11分在中，由余弦定理，得.12分19.（12分）【解】（1）当时，所以，令，得或.1分列表如下：x000极大值极小值所以在处取极大值，即，且.3分由，所以，即，所以.因为，所以，5分所以.6分（2）由，因为，分别是的极大值点和极小值点，所以，是方程的两个不相等的实根，且，即，
9、所以8分因为，因为，所以，解得.综上，.12分20.（12分）【解】（1）（方法一）连结AO.因为，O为BD中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.过点O作，交CD于点E，连结AE.2分因为AO，平面，所以平面，因为，所以，所以是二面角的平面角.4分因为，所以直角中，所以，即二面角的正弦值为.6分（方法二）连结AO.因为，O为BD中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为，O为BD中点，所以，所以OC，OD，OA两两互相垂直.2分以为一组基底建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以，所以为平面的一个法向量.设平面的的法向量，所以，即.令，得平面的一
10、个法向量.4分所以，所以二面角的正弦值为.6分（2）取AD中点M，CD中点N.因为O为BD中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面.因为平面，平面，所以平面平面.因为E为平面内动点（包含边界），且平面，所以E在线段MN上.8分由，所以，则.设OE与平面所成角为，则，当时，的最大值为，所以OE与平面所成角的正弦值的最大值为.12分21.（12分）【解】（1）由双曲线C的左焦点为，设，联立方程组，消x得.设，所以，.因为，所以，2分即，所以，解得，4分所以l的方程为.5分（2）由直线，得，所以，又，所以.8分因为，10分所以（定值）.12分22.（12分）【解】（1）设的极值点为，则，2分解得，经检验，时满足题意.3分所以，当时，当时，所以的单调减区间为，单调增区间为.5分（2）不妨设，因为，由（1）知，.6分设函数，则，所以在上单调递减，所以，即，所以，即.又，所以，即.10分由，得，又，所以所以，即，得证.12分说明：的生成过程.已得，要证，可以考虑，显然不成立.再考虑，由于.，所以构造函数，很巧，.
