1、2014-2015学年北京市大兴区兴华中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1（5分）设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则RM为（） A （，1） B （1，+） C （，1 D 1，+）【考点】： 函数的定义域及其求法；补集及其运算【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解【解析】： 解：由1x0，得x1，即M=（，1，又全集为R，所以RM=（1，+）故选B【点评】： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题2（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0
2、，+）单调递增的函数是（） A y=x3 B y=|x|+1 C y=x2+1 D y=2|x|【考点】： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】： 常规题型【分析】： 首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+）上y=|x|+1=x+1、y=x2+1、y=2|x|=的单调性易于选出正确答案【解析】： 解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=x2+1、y=2|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=x2+1、y=2|x|=在（0，+）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确故选：B【点评】： 本题考查基本函数的奇偶性及
3、单调性3（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1 A p2，p3 B p1，p2 C p2，p4 D p3，p4【考点】： 复数的基本概念；命题的真假判断与应用【专题】： 计算题【分析】： 由z=1i，知，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，由此能求出结果【解析】： 解：z=1i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，故选C【点评】： 本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）方程|x|=cosx在（，+）内（） A 没有根 B 有且仅有一个根 C
4、 有且仅有两个根 D 有无穷多个根【考点】： 余弦函数的图象【专题】： 作图题；数形结合【分析】： 由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根【解析】： 解：方程|x|=cosx在（，+）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx在（，+）内交点的个数，如图，可知只有2个交点故选C【点评】： 本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想5（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（） A B C 1 D 2【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式
5、的解法及应用【分析】： 先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可【解析】： 解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：B【点评】： 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定6（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线a
6、x+by=1与圆O的位置关系是（） A 相切 B 相交 C 相离 D 不确定【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解析】： 解：M（a，b）在圆x2+y2=1外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选B【点评】： 此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握
7、公式是解本题的关键7（5分）执行程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于（） A 3，4 B 5，2 C 4，3 D 2，5【考点】： 程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解析】： 解：由判断框中的条件为t1，可得：函数分为两段，即t1与t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t1时，
8、函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t1，3，画出此分段函数在t1，3时的图象，则输出的s属于3，4故选A【点评】： 要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式8（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定【考点】： 正弦定理
9、【专题】： 解三角形【分析】： 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状【解析】： 解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B【点评】： 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题9（5分）（2012黑龙江）设F1、F2是椭
10、圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） A B C D 【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 计算题【分析】： 利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解析】： 解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选C【点评】： 本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题10（5分）设（0，），（0，），且tan=，则（） A 3= B 3+= C 2= D 2+=【考点】： 三角函数的化简求值【专
11、题】： 三角函数的求值【分析】： 化切为弦，整理后得到sin（）=cos，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（）=cos，则答案可求【解析】： 解：由tan=，得：，即sincos=cossin+cos，sin（）=cos由等式右边为单角，左边为角与的差，可知与2有关排除选项A，B后验证C，当时，sin（）=sin（）=cos成立故选：C【点评】： 本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11（5分）已知向量=（2，1），=（1，m），=（1，2），若（+），则m=1【考点】：
12、平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】： 先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式【解析】： 解：+=（1，m1），（+）12（m1）（1）=0，所以m=1故答案为：1【点评】： 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题12（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A【考点】： 进行简单的合情推理【专题】： 推理和证明【分
13、析】： 可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论【解析】： 解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A故答案为：A【点评】： 本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题13（5分）（2013陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题【分析】： 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【解析】： 解：几何体为
14、圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2所以体积故答案为：【点评】： 本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力14（5分）已知函数f（x）=，若f（f（0）=4a，则实数a=2【考点】： 函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法【专题】： 计算题【分析】： 本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（0）的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a的一元一次方程，解方程即可得到a值【解析】： 解：f（0）=2，f（f（0）=f（2）=4+2a=4a，所以a=2故答案为：2【点评】： 分段函数分段处理，这是研究分段函数图
15、象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）（不等式选做题）15（5分）若存在实数x使|xa|+|x1|3成立，则实数a的取值范围是2，4【考点】： 绝对值不等式的解法【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 利用绝对值的几何意义，可得到|a1|3，解之即可【解析】： 解：在数轴上，|xa|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，（|PA|+
16、|PB|）min=|a1|，要使得不等式|xa|+|x1|3成立，只要最小值|a1|3就可以了，即|a1|3，2a4故实数a的取值范围是2a4故答案为：2，4【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a1|3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题（几何证明选做题）16如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DFDB=5【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 计算题【分析】： 利用相交弦定理得出DE=，再利用DFEDEB，得出DFDB=DE2=5【解析】： 解：AB=6，AE=1，EB=5，O
17、E=2连接AD，则AEDDEB，=，DE=又DFEDEB，=，即DFDB=DE2=5故答案为：5【点评】： 此题考查了垂径定理、直角三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理（坐标系与参数方程）17（2014重庆三模）在极坐标中，直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 选作题【分析】： 先将极坐标方程化为直角坐标系方程，联立求出其交点，再使用两点间的距离公式即可【解析】： 解：将直线2cos=1化为普通方程为：2x=1=2cos，2=2cos，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x1）2
18、+y2=1联立得解得，直线与圆相交的弦长=故答案为【点评】： 本题考查了极坐标系下的直线与圆相交的弦长问题，将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6小题，共75分）18（12分）已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（） 求f（x）的最小正周期（） 求f（x）在0，上的最大值和最小值【考点】： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】： （）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正
19、弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期（） 通过x在0，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解析】： 解：（）函数f（x）=（cosx，）（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x）最小正周期为：T=（）当x0，时，2x，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，sin（2x），f（x），1，所以函数f （x）在0，上的最大值和最小值分别为：1，【点评】： 本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力19（12分）等比数列an的各项均为正数，且
20、2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【考点】： 等比数列的通项公式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的
21、运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和【解析】： 解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为【点评】： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题20（1
22、2分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=（） 证明：平面A1BD平面CD1B1；（） 求三棱柱ABDA1B1D1的体积【考点】： 平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD平面CB1D1同理可证，A1B平面CB1D1而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD平面CD1B1 （） 由题意可得A1O为三棱柱ABDA1B1D1的高，由勾股定理可得
23、A1O= 的值，再根据三棱柱ABDA1B1D1的体积V=SABDA1O，运算求得结果【解析】： 解：（）四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1 和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，BD平面CB1D1同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B平面CB1D1而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD平面CD1B1 （） 由题意可得A1O为三棱柱ABDA1B1D1的高三角形A1AO中，由勾股
24、定理可得A1O=1，三棱柱ABDA1B1D1的体积V=SABDA1O=A1O=1=1【点评】： 本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题21（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表（） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率【考点】： 相互独立事件的
25、概率乘法公式；分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： （）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率【解析】： 解：（）按相同的比例从不同的组中抽取人数从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：（）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，
26、支持1号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=【点评】： 本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题22（13分）如图，椭圆C：的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B1|=，SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2（）求椭圆C的方程；（）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且，是否存在上述直线l使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 综合
27、题【分析】： （）根据椭圆的几何性质知a2+b2=7，由已知条件得知a=2c，从而解得a，b即求出其方程（）考虑两种情况，一是l与x轴垂直，结合条件判断得知此时符合题意；二是l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+m，由，得知m2=k2+1，再由和得知OAOB，即找到x1x2+y1y2=0，然后直线和椭圆联解得到m与k的第二个关系式，联解知无解所以第二种不符合题意故只有第一种符合题意因此不存在直线l满足条件【解析】： 解：（）由知a2+b2=7，由SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2 知a=2c，又b2=a2c2 由 解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为（）设A，B两点的坐标分别为（x1，
28、y1）（x2，y2）若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足，直线l的方程不存在若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1 ，得知OAOB所以x1x2+y1y2=0，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，代入x1x2+y1y2=0中得7m212k212=0由可知无解所以此时l不存在故不存在直线方程使成立【点评】： 此题考查了椭圆的几何性质，及直线和椭圆的位置关系应用23（14分）已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x
29、0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 压轴题；导数的综合应用【分析】： 对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g（x）0是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解析】： 解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0，函数f
30、（x）在R上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，g（x）0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，x0时，g（x）0，符合题意当b2时，若x满足2ex+ex2b2即，得，此时，g（x）0，又由g（0）=0知，当时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值为0.693【点评】： 1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的
