1、北京市八一学校20192020学年度第二学期期中试卷高二数学一、选择题（共30小题，每小题2分，共计60分）从四个选项中选择一个最佳选项1.空集不包含任何元素，也就是空集中的元素个数是（ ）A. 0B. 1C. D. i（虚数单位，平方等于）【答案】A【解析】【分析】由空集的定义即可得到答案.【详解】由空集的定义知，空集不含任何元素，所以空集中的元素个数为0.故选：A【点睛】本题考查空集的定义，考查学生对空集含义的理解，是一道容易题.2.准确表达“0是自然数，直线a在平面内”的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】元素与集合的关系是和；集合与集合的关系是和.【详解】
2、0是自然数是元素与集合的关系，所以；直线a在平面内是集合与集合的关系，所以.故选：B【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系，是一道容易题.3.记集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先算出，再按交集的定义运算即可.【详解】由已知，又，所以.故选：D【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.4.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用作差法比较即可.详解】，又，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查作差法比较不等式的大小，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.5.由均值不等式知道，当且仅当时
3、取等号；当时，由知道如下判断全部正确的是（ ）A. 有最小值2，有最大值4B. 有最小值2，有最小值4C. 有最小值1，ab有最大值4D. 有最小值1，ab有最小值4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求最值要注意条件是否满足.【详解】，当时，有最小值1，由，知，即，当且仅当时，等号成立，所以ab有最小值4.故选：D【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，考查学生的运算能力，是一道容易题.6.关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】只需解不等式组即可.【详解】由题意，原不等式的解等价于不等式组的解，而的解为，所以原不等式的解集
4、为.故选：B【点睛】本题考查解分式型不等式，考查学生的数学计算能力、转化与化归思想，是一道容易题.7.下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 时【答案】C【解析】【分析】直接利用指数式、对数式的运算性质计算即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；当时，故D错误.故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数诱导公式运算即可.【详解】.故选：A【点睛】本题考查三角函数诱导公式的化简、求值，考查学生的运算能力，是一道容易题.9.若，则（ ）A. B. C. D. 【答
5、案】B【解析】【分析】利用，结合即可得到答案.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.10.已知，则下列计算错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对选项A、B利用诱导公式即可判断；对选项C、D利用二倍角公式即可判断.【详解】，故A错误；因为，所以，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：A【点睛】本题考查三角函数的诱导公式以及三角恒等变换中的给值求值问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.11.（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用二倍角的正切公式计算即可，要注意.
6、【详解】由，得，解得或（舍）.故选：D【点睛】本题考查利用二倍角公式求特殊角的三角函数值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.12.若，则的导函数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用导数的定义即可得到答案.【详解】由导数的定义可知，.故选：C【点睛】本题考查导数的定义，考查学生对定义的理解与辨析，是一道容易题.13.下列关于的函数的求导的运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A【点睛】本题考查导数的四则运算，涉及到复合函数的导数，考查学生
7、的基本运算能力，是一道容易题.14.已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，A=60则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可判断A；利用数量积的定义以及数量积的运算律可判断B、C、D.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积、向量模的计算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知正方体（如图），则（ ）A. 直线CF与GD所成的角与向量所成的角相等B. 向量是平面ACH的法向量C. 直线CE与平面ACH所成角的正弦值与的平方和等于1D. 二面角的余弦值等于【答案】B【解析】【分析】以D为原点，建立空
8、间直角坐标系，利用坐标法依次对所给选项进行检验.【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，对于选项A，连接，因为为等边三角形，所以异面直线CF与GD所成的角为，而，所以，所以，故A错误；对于选项B，则，所以，即，又，所以平面，所以向量是平面ACH的法向量，故B正确；对于选项C，设直线CE与平面ACH所成角为，所以，所以，故C错误；对于选项D，连接，设，连接，因为，M为中点，所以，所以为的二面角，易得，所以，所以D错误.故选：B【点睛】本题考查利用坐标法求线面角、面面角以及证明线面垂直，考查学生的计算能力，是一道中档题.16.（ ）A. B. C. D. 【答案】A
9、【解析】【分析】利用加法法则运算即可.【详解】.故选：A【点睛】本题考查复数的加法运算，是一道基础题.17.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】复数z满足，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.18.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数，再利用复数的几何意义即可得到答案.【详解】复数的共轭复数为，其所对应的点为，在第三象限.故选：C【点睛】本题考查复数的几何
10、意义，属于容易题.19.若总成立，则函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 关于对称C. 以4为周期D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】令，由得，即为奇函数，即是奇函数，可得函数的图象的对称性.【详解】令，由已知，所以为奇函数，即函数的图象关于原点对称.故选：D【点睛】本题考查抽象函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.20.若函数的零点是2，则函数的零点是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据零点的定义即可得到答案.【详解】由已知，所以，即1为函数的零点.故选：B【点睛】本题考查抽象函数的零点问题，属于容易题.21.把函数的图象上的每个点的横坐
11、标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】注意横坐标伸缩变换针对的是自变量x.【详解】由题意，函数的图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是.故选：D【点睛】本题考查函数伸缩变换问题，要注意，横坐标伸缩变换针对的是自变量x，本题是一道容易题.22.下列大小比较正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由指数函数的单调性可判断A；由对数函数的单调性可判断B；由幂函数的单调性可判断C；由余弦函数值可判断D.【详解】由在上是增函数，知，故A错误；由在上是减函数，知，故B错误；由在上
12、是减函数，知，故C正确；由，知，故D错误.故选：C【点睛】本题考查比较大小的问题，涉及到指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及余弦函数，是一道容易题.23.过点的直线与圆有两个交点A和B，它们与原点O确定的三角形OAB的面积最大值是（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设，即可得到最大值.【详解】如图，设，则，当时，取得等号.故选：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到三角形面积的最值，是一道容易题.24.已知函数，其中，则（ ）A. 函数的定义域是B. 函数的值域是C. 不等式的解集是D. 零点是【答案】D【解析】【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】由
13、已知，函数的定义域是，故A错误；因为，所以，故B错误；由，得，解得，又，所以，所以不等式的解集是，故C错误；令，得，所以，所以的零点为，故D正确.故选：D【点睛】本题考查函数的定义域、值域、函数的零点、解不等式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.25.已知函数记“，”为，记“为；p中常数a的取值范围记为集合A，q中常数a的取值范围记为集合B则下列说法正确的是（ ）p是q的充分条件；p是q的必要条件；集合A是B的子集；集合B是A的子集；集合A是B的真子集；集合B是A的真子集（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，只需即可，只需即可，分别求出的a的范围为集合A、集合B即可得到
14、答案.【详解】因为，由复合函数的单调性，知是增函数，只需即可，又，即，解得，所以；，只需即可，又，即，解得，所以，所以是的真子集，故p是q的充分条件，集合A是B的子集，集合A是B的真子集.故选：A【点睛】本题考查函数恒成立、能成立求参数范围的问题，涉及到子集、真子集、充分条件、必要条件，是一道中档题.26.函数的切线经过点，相应的切点坐标是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】设切点为，由已知，解得，要注意检验切点是否在切线上.【详解】设切点为，则切线的斜率为，解得，当时，此时切点为，但不满足方程，故舍去；当时，此时切点为，满足方程.故选：B【点睛】本题考查导数的几何意义
15、，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.27.函数的增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求定义域，再求函数的导函数，令解不等式即可.【详解】由已知，函数的定义域为，令，得，所以函数的增区间是.故选：C【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.28.函数的极小值点是（ ）A. 0B. 1C. D. 不存在的【答案】B【解析】【分析】根据极值点的定义判断.【详解】由极小值的定义知，在1附近点的函数值都比1处的函数值大，故1是函数的极小值点.故选：B【点睛】本题考查函数极值点的定义，考查学生对定义的理解，是一道容易题.29.函数在上
16、的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数在上的单调性即可得到最小值.【详解】，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为.故选：C【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.30.某次考试都是判断题，每做对一道题得10分，做错得0分一共有10道题，满分是100分甲、乙、丙、丁四位同学的解答和得分如下表由此可知丁同学的得分是（ ）题号12345678910得分甲对错对对错错对错错对50乙错对对错对错错对对错70丙错错错对对对错错对错80丁错错对对对错错错对错A. 70B. 80C. 90D. 10
17、0【答案】D【解析】【分析】由乙70分，丙80分，则乙丙答案一样的题是正确的，而甲与乙有3，6题一样，甲与丙有2，4，8题答案，所以甲做对的题号为2，3，4，6，8，所以10个题的正确答案为：错错对对对错错错对错，即可算得丁的得分.【详解】因为乙有70分，丙有80分，则乙丙答案一样的有1，5，7，9，10题，且这些题目都是正确的，若这些题至少有1个不正确，不妨设为1号题，则甲1号题正确，5，7，9，10题错误，由于甲得了50分，所以2，3，4，6，8中有4道正确1道错误，而乙、丙还需在2，3，4，6，8中乙对3道，丙对4道，乙、丙在这些题号答案不一样，显然不能同时成立，所以1，5，7，9，10
18、题乙、丙答案正确，所以甲做对的题号为2，3，4，6，8，又甲与乙有3，6题答案一样，甲与丙有2，4，8题答案一样，满足乙得分为70分，丙得分为80分，故10个题的正确答案为：错错对对对错错错对错，故丁的得分为100分.故选：D.【点睛】本题考查简单的推理与证明，考查学生的逻辑推理能力，观察能力，是一道中档题.二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）直接将十进制的数字结果写在横线上31.书架有三层，第一层有5本不同的数学书，第二层有4本不同的语文书，第三层有3本不同的英语书现从书架上任取两本不同科目的书，有_取法【答案】47【解析】【分析】分所取的两本书为数学、语文，数学、英语，语文、英语
19、三种情况讨论即可.【详解】分三类：第一类：所取的两本书为数学、语文，共有种不同取法；第二类：所取的两本书为数学、英语，共有种不同取法；第三类：所取的两本书为语文、英语，共有种不同取法；由加法原理，共有种取法.故答案为：【点睛】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查学生分类讨论思想，是一道容易题.32.有5位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术（Biotechnology）、数学应用共3个如果每位同学限报一个小组，小组招收人数没有上限，那么所有可能的不同的报名结果有_种【答案】243【解析】【分析】每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理即可求解
20、.【详解】每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理，知有5位同学不同的报名方式有种.故答案：【点睛】本题考查简单的计数问题的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.33.用0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，其中有_个无重复数字的偶数【答案】30【解析】【分析】分个位为0和不为0两类进行讨论，注意特殊位置优先安排.【详解】当个位数为0时，从剩下的4个数中选出两个排在十位、百位，共有个这样的数；当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排百位，再从余下的3个数中选一个排十位，共有个这样的数.综上，共有30个无重复数字的偶数.故答案为：30【点睛】本题考查排列与组合中的排数问
21、题，考查学生的分类讨论思想，逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.34.有4位同学和2位教师一起合影若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_种坐法【答案】144【解析】【分析】先排4位同学，将教师插入4位同学产生的3个空位中，再由乘法原理即可得到答案.【详解】先排4位同学共有种不同排法，由于教师不能坐在两端，也不坐在一起，将2位老师插入4位同学产生的3个空位中，共种不同排法，由乘法原理，共有种不同排法.故答案为：【点睛】本题考查排列的实际应用，涉及到特殊元素分析法，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.35.把6块相同的牛排分给4位同学，每人至少一块，有_种分法【答案】10【解析】【分析】
22、分4位同学分得的牛排数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可.【详解】分两类：第一类：当4位同学分得的牛排数为1，1，1，3时，共有种；第二类：当4位同学分得的牛排数为1，1，2，2时，共有种，由加法原理，知共有种不同分法.故答案为：10【点睛】本题考查简单的计数问题，本题当然也可以采用隔板法，将6块牛排排成一排，产生5个空位，从中选择3个空位插入3个板，共有种不同插板方式.考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.36.把6张不同的充值卡分给4位同学，每人至少1张，有_种分法【答案】1560【解析】【分析】分4位同学分得的卡数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可.【详解】分
23、两类：第一类：当4位同学分得的卡数为1，1，1，3时，共有种；第二类：当4位同学分得的卡数为1，1，2，2时，共有种，由加法原理，知共有种不同分法.故答案为：【点睛】本题考查排列与组合中的部分均匀分组问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.37.若，则_【答案】5【解析】【分析】由可得，再利用组合数公式计算即可.【详解】由已知，所以，即，解得.故答案为：5【点睛】本题考查排列数、组合数的运算，考查学生的基本计数能力，是一道容易题.38.在的展开式中，含的项的二项式系数为_【答案】10【解析】【分析】由二项式定理得到通项，令x的次数等于4，解得r即可得到二项式系数.【详解】二项展
24、开式的通项为，令，得，故展开式第三项为含的项，所以含的项的二项式系数为.故答案为：10【点睛】本题考查二项式定理的应用，要注意项的系数与二项式系数的区别，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.39.若，则_【答案】123【解析】【分析】在所给式子中分别令，相减得到得值，又令得到得值，相加即可得到答案.【详解】令，得，令，得，令，得，得，所以，又，所以.故答案为：123【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.40.某班共有40学生某次考试中，甲、乙、丙3位同学的成绩都在班级前10名甲的成绩比乙高，乙的成绩比丙高，全班没有并列名次如果把甲、乙的
25、成绩排名依次作为横坐标x、纵坐标y，那么这样的点坐标共有_个【答案】120【解析】【分析】设丙的成绩排名为，则，将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为，最小那个数为即可.【详解】设丙的成绩排名为，由题意，所求问题相当于从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为，最小那个数为，则共有种，故甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x、纵坐标y，那么这样的点坐标共有120个.故答案为：120【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.三、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）写出演算、推理等解答的全部过程41.已知函数，其中（1）求的值：（2）
26、求函数单调区间【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简，再将代入计算即可；（2）由得，分别解，两个不等式即可得到单调区间.【详解】（1），所以.（2）因为，所以，由，得；由，得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质得综合应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.42.已知函数（1）当时，求的最小值：（2）求证：时，总有大于0的极大值【答案】（1）0；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，利用导数研究其单调性，即可得到答案；（2），因为，所以只需讨论，两种情况，利用单调性找到极大值即可得到证明.【详解】（1）当时，则，令，得；令，得或；所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，注意到当时，且，所以的最小值为.（2）证明：由已知，因为，若时，则，令，得；令，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以得极大值为；若时，则，令，得；令，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以得极大值为.综上，时，总有大于0的极大值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.
