1、2022 届高考数学核心猜题卷全国卷（理）【满分：150 分】一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 1,0,1,2,3A，2|230Bx xx，则 AB ()A.1,2,3B.0,1C.1,0,1D.1,02.已知复数32i3iz，则 z ()A.11 i22B.11 i22C.71 i1010D.71 i10103.函数32()42f xxxx的图象在点(1,1)处的切线方程为()A.320 xyB.340 xyC.320 xyD.340 xy4.若直线:l ykx与圆22:4470C xyxy相切，则
2、实数 k 的值为()A.13B.473C.473D.35.已知sin2cos0，则cos2sin2等于()A.45B.35C.25D.156.已知偶函数()f x 在(,0上单调递减，且(4)0f，则不等式()0 xf x 的解集为()A.(4,0)(4,)B.(,4)(0,4)C.(4,0)(0,4)D.(,4)(4,)7.几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥 PABC中，AB 为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧 AB 的中点，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小为()A.30B.45C.60D.908
3、.若函数()2sin()0,|2f xx 的最小正周期为 ，且其图象向左平移 6 个单位后所得图象对应的函数()g x 为偶函数，则()f x 的图象()A.关于直线3x 对称B.关于点 ,06对称C.关于直线6x 对称D.关于点 5,012 对称9.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种.为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出 4 名男志愿者和 2 名女志愿者参与该地区志愿服务.已知 6 名志愿者将会被分为 2 组派往该地区的 2 个不同的社区，且女志愿者不单独成组.若每组不超过 4 人，则不同的分配方法种数为()A.32B.40C.48D.561
4、0.抛物线21:4C yx的焦点为 F，准线 l 与坐标轴交于点 P，过点 P 的直线与抛物线交于 A，B 两点，若PFA的面积是PFB面积的 2 倍，则点 A 到准线 l 的距离为()A.1B.2C.3D.411.在边长为 4 的菱形 ABCD 中，4 3BD，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使平面 BAC 平面 DAC，则所得三棱锥 BACD的内切球的表面积为()A.(512192 5)B.(432192 5)C.(51296 5)D.(43296 5)12.已知函数2()3cos3(0)f xmxxm在 R 上有且只有一个零点，则实数 m 的最小值为()A.12B.23C.1D.
5、32二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量(1,2)a，(,3)mb，若(2)/abb，则 m _.14.若 x，y 满足约束条件4022010 xyxyx ，则2zxy的最大值是_.15.已知等比数列 na满足112nnnaa，数列 nb满足*12()nnnba anN，记nT 是数列 nb的前 n 项和，则当748nT 时，n 的最小值为_.16.斜率为 35 的直线 l 经过双曲线2221(0)8xybb的左焦点1F，交双曲线两条渐近线于 A，B 两点，2F 为双曲线的右焦点且22F AF B，则双曲线的方程为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文
6、字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）在ABC中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且3coscos23bBAca.（1）求角 B 的大小；（2）若2b，求ABC的面积的最大值.18.（12 分）在四棱锥 SABCD中，SA 底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，/AB CD，BCCD，12SAABBCCD，M 是棱 SB 上一点.（1）证明：AMBC；（2）若 M 是 SB 的中点，求二面角 SADM的正弦值.19.（12 分）某部门对辖区企业
7、员工进行了一次疫情防控知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人（其中 450 人为女性）的得分数据（满分 100），统计结果如表所示.得分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)男性人数15901301001256030女性人数1060701501004020（1）把员工分为对疫情防控知识“比较了解”（不低于 60 分的）和“不太了解”（低于60 分的）两类，请完成如下 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为该企业员工对疫情防控知识的了解程度与性别有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）为增加员工疫情防控知识，现开展一
8、次“疫情防控知识”竞赛.若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对 3 题或答错 3 题即终止，答对 3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每道题的概率都相同，并且相互之间没有影响，若甲连续两次答错的概率为 49，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.附：20()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n adbcKab cd ac bd，nabcd .20.（12 分）已知直线:2l x 与椭圆2222:1(0)xyCabab交于
9、第四象限内一点 P，1F，2F为椭圆 C 的左、右焦点，且12PF F面积为6，椭圆 C 的短轴长为 2 2.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 M 为椭圆 C 上第一象限内一点，点 M 关于直线 l 的对称点为 N，直线 PN 与椭圆 C的另一个交点为 Q，求证：MQ 的斜率为定值.21.（12 分）设函数2()ln1f xxaxx，其中0a.（1）若()0f x 在(0,1)x 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）设21e1()e lnxxxxxF xxx，证明：对任意(0,1)x，都有()0F x.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则
10、按所做的第一题计分。22.（10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cossinxy（为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin46.（1）若直线()6R，()3R 分别与直线 l 交于点 A，B，求OAB的面积；（2）若点 P，Q 分别为曲线 C 及直线 l 上的动点，求|PQ 的最小值.23.（10 分）选修 4 5：不等式选讲已知()2|1|2|f xxxm，mR.（1）当2m 时，解不等式()5f x；（2）对于任意的实数 x，总有()3f x 成立，求实数 m 的取值范围.2022 届
11、高考数学核心猜题卷全国卷（理）参考答案一、选择题1.答案：C解析：Q 集合2|230|31Bx xxxx剟?，1,0,1AB，故选 C.2.答案：A解析：因为32i2i(2i)(3i)11 i 3i3i1022z，所以11 i22z，故选 A.3.答案：A解析：因为32()42f xxxx，所以2()382fxxx，所以2(1)3 18 123f ，故函数()f x 的图象在点(1,1)处的切线方程为13(1)yx ，即320 xy，故选 A.4.答案：C解析：由题可知，直线:l ykx与圆22:(2)(2)1Cxy 相切，所以圆心(2,2)到直线l 的距离2|22|11kdk，解得473k，
12、故选 C.5.答案：D解析：sin2cos0Q，sintan2cos ，cos2sin22222cossin2sincossincos221tan2tan1441tan1415.故选 D.6.答案：A解析：因为偶函数()f x 在(,0上单调递减，且(4)0f，所以由偶函数的对称性可知，()f x在(0,)上单调递增，且(4)0f，由()0 xf x 得0()0 xf x或0()0 xf x，解得4x 或40 x，即不等式()0 xf x 的解集为(4,0)(4,).故选 A.7.答案：C解析：如图，设底面的圆心为 O，分别取 AC，PC 的中点 D，E，连接 PO，CO，OD，OE，DE，因
13、为APB是等腰直角三角形，90APB，设圆锥的底面圆半径1OA ，则2PA，2PC，则1222DEPA且/DE PA，又90ACB且2ACBC，而12ODBC22 且/OD BC，所以EDO为异面直线 PA 与 BC 所成的角，在 RtPCO中，因为 E 为 PC的中点，所以1222OEPC，所以DOE是正三角形，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 60，故选 C.8.答案：D解析：依题意可得22，所以()2sin(2)f xx，所以()f x 的图象向左平移 6 个单位后所得图象对应的函数为()g x 2sin 23x，又函数()g x 为偶函数，所以32k，k Z，解得6k，k Z，又
14、|2，所以6，所以()2sin 26f xx，由262xk，k Z，得62kx，k Z，所以()f x 图象的对称轴为62kx，k Z，排除 A，C；由26xk，k Z，得122kx，k Z，则()f x 图象的对称中心为,0122k，k Z，当1k 时，512212k，故选 D.9.答案：C解析：根据题意，分两种情况讨论：分为 3，3 的两组时，2 名女志愿者不单独成组，有361 C2种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有22A 种情况，此时共有32621 CA202种分配方法；分为 2，4 的两组时，有4262CC15种分组方法，其中有 1 种两名女志愿者单独成组的情况，则有 14
15、种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有22A 种情况，此时共有2214 A28种分配方法.故共有 202848种分配方法，故选 C.10.答案：C解析：如图所示，由2PFAPFBSS可得2PAPB，点 B 为 PA 的中点，过点 A，B 分别作 AMl，BNl，垂足分别为点 M，N，则/AM BN，点 N 为 PM 的中点，BN 为PAM的中位线，12BNAM，由抛物线定义可知，AMAF，BNBF，12BFAF，Q 坐标原点 O 为 PF 的中点，OB 为PFA的中位线，12OBAF，OBBF，由抛物线2:4C xy知(0,1)F，B 点的纵坐标为 12，13|122BN，|2
16、|3AMBN，则点 A到准线 l 的距离为 3，故选 C.11.答案：B解析：因为在菱形 ABCD 中，4AD，4 3BD，所以120DAB，4AC，如图，设 ACBDO，所以ODAC，OBAC，又平面 BAC 平面 DAC，平面 BAC平面 DACAC，所以OD 平面 BAC，所以ODOB，在三棱锥 BACD中，2 3ODOB，所以222 6DBODOB，则三棱锥 BACD的体积1112 32 348332B ACDODBVSAC，过点 A 作 AEDB于点 E，所以2210AEABBE，所以ABCS142 34 32CDAS，1102 62 152DBCBDASS，设三棱锥 BACD的内切
17、球的半径为 r，则1()3ABCBDACDADBCSSSSr1(8 34 15)3r8B ACDV，解得2 154 3r，所以三棱锥 BACD内切球的表面积为24(2 154 3)(432 192 5)，故选 B.12.答案：D解析：由题可知，()f x 为偶函数，且(0)0f，()23sinfxmxx.设()23sing xmxx，则()23cosg xmx，当32m 时，()33cos0g xx厖，故()g x 在(0,)上单调递增，故当0 x 时，()(0)0g xg，即()0fx，所以()f x 在(0,)上单调递增，故()f x 在(0,)上没有零点.由()f x 为偶函数，可知()
18、f x 在 R 上有且只有一个零点；当302m时，存在00,2x，使023cosmx，当00,xx时，()23cos0g xmx，即()g x 在00,x上 单 调 递 减，故()(0)0g xg，即()0fx，所 以()f x 在 00,x上 单 调 递 减，故0(0)0f xf，且2(2)4 0fm，则()f x 在0,2x上有零点，此时不符合条件，故32m ，即实数 m 的最小值为 32，故选 D.二、填空题13.答案：32解析：因为(1,2)a，(,3)mb，所以2(12,8)mab，因为(2)/abb，所以836mm，则32m.14.答案：7解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部
19、分所示，目标函数2zxy可化为直线22xzy ，当直线22xzy 过点 A 时其在 y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，联立4010 xyx ，解得(1,3)A，所以2zxy的最大值为max12 37z.15.答案：3解析：因为112nnnaa，数列 na是等比数列，所以数列 na的公比11122nnnnnnaaqaa12，又12111122aaa，所以113a，故1111132nnnaaq，所以12nnnba a 111111112323294nnn，故数列 nb是以 19 为首项，14 为公比的等比数列，所以11141941127414nnnT，由 417127448n，得1631
20、464n，所以3n，即 n 的最小值为 3.16.答案：22189xy解析：如图，取 AB 的中点 M，连接2MF，OM.设 11,A x y，22,B x y，则ABOMkk22221222212121222221212121288282yybbxxyyyybxxxxxxxx，又35ABk，所以2524OMbk.设直线 AB 的倾斜角为.因为 M 为 AB 的中点，22F AF B，所以2MFAB，所以12MF F为直角三角形，所以1OMOF，所以直线 OM 的倾斜角为 2，则直线 OM 的斜率为22tantan 21tan2321558315，所以2515248b，解得29b，所以双曲线的
21、方程为22189xy.三、解答题17.解析：（1）由正弦定理得3sincoscos2sin3sinBBACA，即3sincos(2sin3sin)cosBACAB，2 分即3sin()2sincosABCB，即3sin2sincosCCB，4 分sin0C Q，3cos2B，又 0B，6B.6 分（2）由余弦定理得2222cosbacacB，即22222cos 6acac，8 分即224323acacacac，当且仅当 ac时，等号成立，44(23)23ac.10 分ABC的面积111sin4(23)23222SacB.ABC的面积的最大值为 23.12 分18.解析：（1）因为 SA 底面
22、ABCD，BC 底面 ABCD，所以 SABC.因为/AB CD，BCCD，所以 BCAB.3 分又 SA，AB 平面 SAB，SAABAI，所以 BC 平面 SAB.又 AM 平面 SAB，所以 AMBC.5 分（2）如图，以 B 为坐标原点，BA，BC 所在直线为 x，y 轴，过点 B 平行于 SA 的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 Bxyz.不妨设122SAABBCCD，则(0,0,0)B，(2,0,0)A，(4,2,0)D，(2,0,2)S，(1,0,1)M，所以(2,2,0)AD uuur，(0,0,2)AS uur，(1,0,1)AM uuur.7 分设平面 SAD 的法向量为(
23、,)a b cm，则22020ADabAScmmuuuruur，令1a ，得(1,1,0)m.设平面 MAD 的法向量为(,)x y zn，则2200ADxyAMxz nnuuuruuur，令1x ，得(1,1,1)n.10 分设二面角 SADM的平面角为，由图可知二面角 SADM为锐二面角，所以|26cos|cos,|323 m nm nmn，所以263sin133，所以二面角 SADM的正弦值为33.12 分19.解析：（1）补全 22 列联表如表所示，不太了解比较了解合计男性235315550女性140310450合计37562510002 分所以221000(235 310315 14
24、0)14.2496.635375 625 550450K，所以有 99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关.5 分（2）设甲答对每道题的概率为 p，则24(1)9p，所以13p，6 分易知 的所有可能取值为 3，4，5，331(3)(1)3Ppp，22223310(4)C(1)C(1)(1)27Ppp pppp，1108(5)132727P ，9 分所以 的分布列为345P1310271827所以1108107()3453272727E .12 分20.解析：（1）由题意知，222221yab，22241yba，即点 P 的纵坐标2241Pyba.设122F Fc，所以1 21
25、262PF FPScy，即226Pcy，则222416cba.3 分又 22 2b，则2b.又222abc，联立解得2 2a 或1a (舍)，所以椭圆 C 的标准方程为22182xy.5 分（2）由（1）可知(2,1)P.因为直线 PM 与直线 PN 关于直线:2l x 对称，所以0PMPNkk，设直线 PM 的斜率为 k，则直线 PN 的斜率为 k，故可得直线 PM 的方程为1(2)yk x，即(2)1yk x，直线 PN 的方程为1(2)yk x ，即(2)1yk x ，7 分设11,M x y,22,Q x y，联立22182(2)1xyyk x，消去 y 整理得222241168161
26、640kxkk xkk，所以21216164241kkxk，解得21288241kkxk，同理22288241kkxk，9 分所以1212MQyykxx12122121k xk xxx 12124k xxkxx222164481411616241kkkkkkkk，所以 MQ 的斜率为定值12.12 分21.解析：（1）由()0f x 在(0,1)上恒成立，得2ln10 xaxx，即1ln0 xaxx，(0,1)x.令1()lng xxaxx，(0,1)x，则22211()1axaxg xxxx.当240a ，即 02a时，()0g x，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，()(1)0g
27、 xg，故()0f x 恒成立，满足题意；3 分当240a，即2a 时，设2()1(01)h xxaxx，则()h x 图象的对称轴12ax ，(0)10h，(1)20ha，所以()h x 在(0,1)上存在唯一实根，设为1x，则当1,1xx时，()0h x，即()0g x，所以()g x 在1,1x上单调递减，则()(1)0g xg，此时()0f x，不符合题意.综上，实数 a 的取值范围是(0,2.5 分（2）由题意得21e1()e lnxxxxxF xxx，当(0,1)x 时，e10 xxx，ln0 x，由()0F x 得21ln1eexxxxxxx，即2e1e1lnxxxxxxx，7
28、分令()e1(01)xxxx，则()e10 xx，所以()x在(0,1)上单调递增，()(0)0 x，即e1xx，所以2e1(1)11xxxx xxx ，从而2eee11xxxxxx.9 分由（1）知，当2a 时，12ln0 xxx在(0,1)x 上恒成立，整理得212lnxxx.令2e()(01)1xm xxx，则要证()0F x，只需证()2m x.因为222e(1)()01x xm xx，所以()m x 在(0,1)上单调递增，所以e()(1)22m xm，即()2m x 在(0,1)上恒成立.综上可得，对任意(0,1)x，都有()0F x 成立.12 分22.解析：（1）因为直线6，3
29、 分别与直线 l 交于点 A，B，所以48 3|3sin 66OA，4|4sin 36OB，3 分又366AOB，所以OAB的面积18 38 34sin2363S .5 分（2）直线 l 的极坐标方程为sin46，即3 sincos8，由cosx，siny，得直线 l 的直角坐标方程为380 xy.|PQ 的最小值即点 P 到直线 l 距离的最小值，7 分设(3cos,sin)P，则点 P 到直线 l 的距离6sin83cos3sin8|2|86422d，当且仅当sin14时取等号，所以|PQ 的最小值为 862.10 分23.解析：（1）由题意知，()2|1|2|22|2|f xxxmxxm，当2m 时，|22|22|5xx，2 分当1x 时，(22)(22)5xx，化简得54x，所以514x；当 11x 剟时，45恒成立，所以 11x 剟；当1x 时，(22)(22)5xx，化简得54x，所以514x，综上可知不等式()5f x 的解集为5 5,4 4.5 分（2）因为()|22|2|22(2)|2|f xxxmxxmm，7 分即min()|2|f xm，因为对于任意的实数 x，总有()3f x 成立，所以|2|3m，解得1m 或5m，所以实数 m 的取值范围是(,1)(5,)U.10 分
