1、江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题20206一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知集合A，B，则AB 2若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 3某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 第4题 第6题5将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 6已知函数(其中0，)部分图象如图所示，则 的值为 7已知数列为等比数列，若，且，成等差数列，则的前n项和为
2、8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a0，b0)的右焦点为F若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB2b，则该双曲线的离心率为 9若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为 10已知函数，若，则实数x的取值范围为 11在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2y22上两个动点，且，若A， B两点到直线l：3x4y100的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为 12若对任意ae，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为 13已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足，且，延长AP交边BC于点D，
3、若BD2DC，则的值为 14在ABC中，A，D是BC的中点若ADBC，则sinBsinC的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，E， F分别为AD，PB的中点求证：（1）EF/平面PCD；（2）平面PAB平面PCD16（本题满分14分）已知向量(cosx，sinx)，(cosx，sinx)，函数（1）若，x(0，)，求tan(x)的值；（2）若，(，)，(0，)，求的值17（本题满分14分）如图，港口A在港口O的正东
4、100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB海里，tanAOB，cosAOD，现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值18（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)经过点(2，0)和(1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMB
5、O（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率19（本题满分16分）已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数（1）若a1，求函数的单调减区间；（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；（3）证明：对任意a(2，4)，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点20（本题满分16分）若数列满足n2时，则称数列(n)为的“L数列”（1）若，且的“L数列”为，求数列的通项公式；（2）若(k0)，且的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若，其中p1，记的“L数列”的前n项和为，试判断是否存在等差数列，对任意n，
6、都有成立，并证明你的结论江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，aR若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，2)（1）求矩阵A；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q的坐标B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值C选修45：不等式选讲已知为a，b非负实数，求证：【
7、必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1（1）求AA1的长；（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并说明理由23（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n1(n)次若取出白球的累计次数达到n1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为（1）求；（2）证明：江苏省南京市
8、2020届高三年级第三次模拟考试数学试题20206一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知集合A，B，则AB 答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：集合A，B， AB(1，4)2若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 答案：2考点：复数解析：是实数，实数a的值为23某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 答案：60考点：分层抽样解析：4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 答案：10考点：伪代码解析：第一步：i1，S1；
9、第一步：i2，S3；第一步：i3，S6；第一步：i4，S10；故输出的结果为105将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 答案：考点：随机事件的概率解析：6已知函数(其中0，)部分图象如图所示，则 的值为 答案：考点；三角函数的图像与性质解析：首先，解得1， 又，故，所以7已知数列为等比数列，若，且，成等差数列，则的前n项和为 答案：考点：等比数列的前n项和公式，等差中项解析：，成等差数列，2，故q2， 8在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a0，b0)的右焦点为F若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB2b，则该双曲线的离心率为 答案：考点：双
10、曲线的简单性质解析：由题意知，则，离心率e9若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为 答案：考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥AB1CD1是以为棱长的正四面体， V10已知函数，若，则实数x的取值范围为 答案：2，4考点：函数与不等式解析：首先，由知， 当，解得，故，得， ，故实数x的取值范围为2，411在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2y22上两个动点，且，若A， B两点到直线l：3x4y100的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为 答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB中点D，设D到直线l的距离为d，易知：d1d22dD轨迹为：d1d2
11、的最大值为612若对任意ae，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为 答案：2，)考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：当时，显然成立，； 当时， ，易知：，故； 综上，实数b的取值范围为2，)13已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足，且，延长AP交边BC于点D，若BD2DC，则的值为 答案：考点：平面向量数量积解析：A，P，D共线，不妨令 又，故， 因此，则， 故14在ABC中，A，D是BC的中点若ADBC，则sinBsinC的最大值为 答案：考点：解三角形综合解析： 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，
12、证明过程或演算步骤）15（本题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，E， F分别为AD，PB的中点求证：（1）EF/平面PCD；（2）平面PAB平面PCD证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG 在PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GFBC，GFBC因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC， 所以GFDE，GFDE，所以四边形DEFG为平行四边形， 所以EFDG 又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD(2)因为底面ABCD为矩形，所以CDAD 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD
13、平面ABCDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD 因为PA平面PAD，所以CDPA又因为PAPD，PD平面PCD，CD平面PCD，PDCDD，所以PA平面PCD因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD 16（本题满分14分）已知向量(cosx，sinx)，(cosx，sinx)，函数（1）若，x(0，)，求tan(x)的值；（2）若，(，)，(0，)，求的值解：(1) 因为向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，所以 f(x)mncos2xsin2xcos2x 因为f()1，所以cosx1，即cosx 又因为x(0，) ，所以x， 所以tan(x)tan()2 (2)
14、若f()，则cos2，即cos2因为(，)，所以2(，)，所以sin2 因为sin，(0，)，所以cos， 所以cos(2)cos2cossin2sin()() 又因为2(，)，(0，)，所以2(，2)，所以2的值为17（本题满分14分）如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB海里，tanAOB，cosAOD，现一艘科考船以海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇（1）若快艇
15、立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy 因为OB20，tanAOB，OA100，BEACODxy 所以点B(60，40)，且A(100，0) (1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C， 则OC10(t2)，AC50t 因为OA100，cosAOD， 所以AC2OA2OC22OAOCcosAOD， 即(50t)2100210(t2)2210010(t2) 化得t24，解得t12，t22（舍去）， 所以OC40 因为cosAOD，所以sinAOD，
16、所以C(40，80)， 所以直线AC的方程为y(x100)，即4x3y4000 因为圆心B到直线AC的距离d8，而圆B的半径r8， 所以dr，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险 答：若快艇立即出发有触礁的危险 (2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E 设直线AE的方程为yk(x100)，即kxy100k0 因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d8， 即2k25k20，解得k2或k 由（1）可知k舍去 因为cosAOD，所以tanAOD2，所以直线OD的方程为y2x 由解得所以E(50，100)， 所以AE50，OE50， 此时两船的时间差为5，所以x5
17、23 答：x的最小值为(3)小时 18（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)经过点(2，0)和(1，)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率解：(1)因为椭圆1(ab0)过点(2，0)和 (1，)，所以a2，1，解得b21，所以椭圆C的方程为y21 (2)因为B为左顶点，所以B (2，0)因为四边形AMBO为平行四边形，所以AMBO，且AMBO2 设点M(x0，y0)，则A(x02，y0)因为点M，A在椭圆C上，所以解得所以M(1，)
18、 (3) 因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得(4k21)x28kmx4m240，则有x1x2，x1x2 因为平行四边形AMBO，所以(x1x2，y1y2)因为x1x2，所以y1y2k(x1x2)2mk2m，所以M(，) 因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，化得4m24k21 因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OAOB，所以x1x2y1y20因为y1y2(kx1m)(kx1m)k2x1x2km(x1x2)m2，所以x1x2y1y20，化得5m24k24 由解得k2，m23，此时0，因此
19、k 所以所求直线AB的斜率为19（本题满分16分）已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数（1）若a1，求函数的单调减区间；（2）若函数的定义域为R，且，求a的取值范围；（3）证明：对任意a(2，4)，曲线上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点解：(1)当a1时，f(x)，所以函数f(x)的定义域为R，f(x) 令f(x)0，解得1x2，所以函数f(x)的单调减区间为(1，2) (2)由函数f(x)的定义域为R，得x2axa0恒成立，所以a24a0，解得0a4 方法1由f(x)，得f(x) 当a2时，f(2)f(a)，不符题意 当0a2时，因为当ax2时，f (x)0，所以f(x
20、)在(a，2)上单调递减， 所以f(a)f(2)，不符题意 当2a4时，因为当2xa时，f (x)0，所以f(x)在(2，a)上单调递减， 所以f(a)f(2)，满足题意 综上，a的取值范围为(2，4) 方法2由f(2)f(a)，得 因为0a4，所以不等式可化为e2(4a) 设函数g(x)(4x)e2， 0x4 因为g(x)ex0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减又因为g(2)0，所以g(x)0的解集为(2，4)所以，a的取值范围为(2，4) (3)证明：设切点为(x0，f(x0)，则f(x0)，所以切线方程为y(xx0) 由0(0x0)，化简得x03(a3)x023ax0a0 设h(
21、x)x3(a3)x23axa，a(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点 由(2)可知a(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h(x)3x22(a3)x3a因为4(a3)236a4(a)2270恒成立，所以h(x)0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1x2因为x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)h(x)00h(x)增极大减极小增所以函数h(x)最多有三个零点 因为a(2，4)，所以h(0)a0，h(1)a20，h(2)a40，h(5)5011a0，所以h(0)h(1)0，h(1)h(2)0，h(2)h(5)0因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，
22、2)，(2，5)上分别至少有一个零点综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点20（本题满分16分）若数列满足n2时，则称数列(n)为的“L数列”（1）若，且的“L数列”为，求数列的通项公式；（2）若(k0)，且的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若，其中p1，记的“L数列”的前n项和为，试判断是否存在等差数列，对任意n，都有成立，并证明你的结论解：（1）由题意知，所以， 所以 即数列的通项公式为（2）因为annk3(k0)，且n2，nN*时，an0，所以k1方法1设bn，nN*，所以bn1因为bn为递增数列，所以bn1bn0对nN*恒成立，即0对nN*恒成立 因为，所以0等价于(nk2
23、)(nk1)0当0k1时，因为n1时，(nk2)(nk1)0，不符合题意 当k1时，nk1nk20，所以(nk2)(nk1)0，综上，k的取值范围是(1，) 方法2令f(x)1，所以f(x)在区间(，2k)和区间(2k，)上单调递增 当0k1时，f(1)11，f(2)11，所以b2b1，不符合题意 当k1时，因为2k1，所以f(x)在1，)上单调递增，所以bn单调递增，符合题意综上，k的取值范围是(1，) （3）存在满足条件的等差数列，证明如下： 因为，k， 所以， 又因为，所以，所以， 即， 因为，所以， 设，则，且， 所以存在等差数列满足题意江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学
24、附加题本试卷共40分，考试时间30分钟21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换已知矩阵A，aR若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，2)（1）求矩阵A；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q的坐标解：(1) 因为点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，2)，所以a2， 所以A (2)因为A，所以A2 ， 所以A2= =， 所以，点Q的坐标为(3，6)B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），
25、求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解：曲线C：(x1)2y21，直线l：圆心C(1，0)到l的距离设为d，故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为，即C选修45：不等式选讲已知a，b为非负实数，求证：证明：因为a，b为非负实数， 若时，从而， 得， 若时，从而， 得， 综上，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1（1）求AA1的长；（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角BA1CA的大小相等，并说
26、明理由解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC， 又AB，AC平面ABC，故AA1AB，AA1AC，又ABAC 故以A为原点，为正交基底建立空间直角坐标系 设AA1a0，则A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)， (3，4，a)，(0，4，a) 因为B1CAC1，故，即， 又a0，故a4，即AA1的长为4； （2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，假设存在，设(0，0，4)，则P(3，0，4)，则(3，4，4)ABAC，ABAA1，又ACAA1A，AC，AA1平面AA1C1C所以AB平面AA1C1C，故平面AA1C1C的法向
27、量为(3，0，0)设PC与平面AA1C1C所成角为，则，设平面BA1C的法向量为(x，y，z)，平面AA1C的法向量为(3，0，0)由（1）知：(0，4，4)，(3，4，0)，(0，4，0)，令，则(4，3，3)设二面角BA1CA的大小为，则，因为，则，无解，故侧棱BB1上不存在符合题意的点P23（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n1(n)次若取出白球的累计次数达到n1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为（1）求；（2）证明：解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为， 所以； （2）证明：累计取出白球次数是n+1的情况有：前n次取出n次白球，第n+1次取出的是白球，概率为前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，概率为前2n1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，概率为则因此 则 因为，所以，因此25
