1、阶段性综合检测(五)立体几何时间120分钟满分150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014许昌模拟)若a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A内的所有直线与a异面B内与a平行的直线不存在C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交解析：由题设知，a和相交，设aP，如图，在内过点P的直线与a共面，A错；在内不过点P的直线与a异面，D错；(反证)假设内直线ba，a，a，与已知矛盾，C错，故选B.答案：B2(2014贺兰一中期末)设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b，
2、Ba，b，Ca，b， Da，b，解析：，b，b.a，ab，故选C.答案：C3(2013辽宁)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.答案：C4(2014孝感一中期末)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为()A16 B8C4 D2解析：解答三视图相关题目的关键是正确转化，一是位置关系，二是数量关系据已知三视图易知三棱锥外接球的半径为1，故其表面积为4.答案：C5(2014莱芜期末)设
3、，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是()A BC D解析：若，l，则l或l，故不正确；l，则过l作一平面使平面与相交，交线设为l，那么ll，l，l，又l，故正确；不正确，如l与平面相交；正确答案：C6(2014大庆35中模拟)在ABC中，AB3，BC3，ABC，若使ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A6 B5C4 D.解析：作ADBC交直线BC于点D，则有AD3sin，将ABC绕直线BC旋转一周所得到的几何体可视为从一个以AD为底面半径、CD为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
4、半径、BD为高的圆锥后所剩余部分，因此所求几何体的体积等于AD2(BCBD)AD2BDAD2BC()23.答案：D7(2014德州二模)当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于()A120 B90C60 D45解析：画出圆锥的轴截面，如图所示，设底面半径为r，侧棱长为l，则侧面积等于rl，底面积等于r2，由于rlr21，所以lr.于是圆锥的高ADr，所以DAC45，故圆锥轴截面的顶角等于90.答案：B8(2014南阳一中模拟)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1C. D.解析：如图所示，直线
5、AB1与底面ABCD所成的角为B1AB，则A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，BB1ABtan60，所以AA1BB1.答案：D9(2014六安二模)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：如图所示，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥
6、各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)，故仅选项B为假命题答案：B10(2014十堰二模)如图，已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1的各条棱长均为3，BAD60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.解析：|MN|2，则|DP|1，则点P的轨迹为以D为球心，半径r1的球，则球的体积为Vr3.BAD60，ADC120，120为360的，只取半球的，则V.答案：A11(2014湛江二
7、模)如图所示，在三棱柱ABCABC中，E、F、H、K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心从K、H、G、B中取一点，设为P，使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行，则P为点()AG BHCK DB解析：若P为点G，连接BC，则F为BC的中点，EFAB，EFAB，AB平面GEF，AB平面GEF，P为点G符合题意；若P为点K，则有三条侧棱与该平面平行，不符合题意若点P为点H，则有上下两底面中的六条棱与该平面平行，不符合题意；若点P为点B，则只有一条棱AB与该平面平行，也不符合题意，故选A.答案：A12(2014黑龙江部分重点中学联考)如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有
8、一个小洞D，E，F，且知SDDASEEBCFFS21，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的()A. B.C. D.解析：要确定最多盛水的体积就需要确定，因为，又因为三棱锥ESDF与三棱锥BASC的高之比为23，因此，所以最多可盛水的体积为原来的.答案：C第卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2013辽宁)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_解析：由三视图可知该几何体是从一个半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底
9、面边长为2，高为4的正四棱柱，所以其体积为2242241616.答案：161614(2014临沂期末)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：根据类比的思想，在平面上，对应的平面图形的面积比是边长比的平方，在空间中，对应的立体图形的体积比是棱长比的立方，其其体积比是18.答案：1815(2014伽师二中二模)给出下列四个命题：对平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面
10、直线都平行；对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等其中正确命题的序号为_解析：错，当90时，这样的直线有且只有一条；正确，由线面平行的性质定理及判定定理推导即可；错，当此点与两异面直线之一所确定的平面与另一异面直线平行时，过此点不存在平面与两异面直线平行；正确答案：16(2014南昌一模)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_解析：过K作KMAF于M，连接DM，易知DMAF，与折前的图形对比，可知由折前的图形
11、中D、M、K三点共线且DKAF，于是DAKFDA，即，t.又DF(1,2)，t(，1)答案：(，1)三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(2014南阳一中模拟)(本小题满分12分)如图所示，ABCA1B1C1是各条棱长为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，P是侧棱BB1的中点，O是ABC的重心(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求证：PO平面AB1D.证明：(1)取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE、CF，由题意知B1DAD，故DEAB1，又CFAB，CFDE，故DEAB，DE平面ABB1A1.又DE平面AB1D，平面AB1D平面AB
12、B1A1.(2)连接PF、PC.P、F分别为BB1、BA的中点，PFAB1，PCB1D，平面PFC平面AB1D，又PO平面PFC，PO平面AB1D.18(2014太原五中月考)(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积解：(1)在ABD中，AB2，AD4，DAB60，BD2，AB2BD2AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.DE平面EBD，ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB，C
13、DBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2.又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SABEABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD.而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4.综上所述，三棱锥EABD的侧面积S82.19(2014赣县考前适应)(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值解：(1)PA底面ABC，又PA，AC平面PAC
14、，PABC.又BCA90，ACBC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形，ADAB.在RtABC中，ABC60，BCAB，在RtADE中，sinDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.20(2014山西大学附中)(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)
15、求二面角ACDE的余弦值解：(1)由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连接EP、PC，因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC、AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FAa，EPPCPDa，CDDEECa，故CED60，所以异面直线BF与DE所成角的大小为60.(2)因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连接MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)设Q为CD的中点，连接PQ、EQ.因为
16、CEDE，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa，于是在RtEPQ中，cosEQP，所以二面角ACDE的余弦值为.21(2014卫辉月考)(本小题满分12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积解：(1)该安全标识墩的侧视图如图所示(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH40406040402064000(cm3)请考生在第22
17、、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。22(2014豫北六校精英联考)(本小题满分10分)如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若BAC90，ABAC，CBD90，BDC60，BC6.(1)证明：平面ABD平面ACD；(2)求二面角ACDB的正切值解：(1)CBD90，BCBD.平面ABC平面BCD，且平面ABC平面BCDBC，BD平面ABC，又AC平面ABC，BDAC.又ACAB，AC平面ABD，且AC平面ACD，平面ABD平面ACD.(2)取BC的中点O，连接AO，则AOBC.作OFCD，则AFCD，AFO即是二面角ACDB
18、的平面角，tanAFO2.23(2014江西上饶中学二模)(本小题满分10分)如图，已知三棱锥APBC，ACB90，AB20，BC4，PAPC，D为AB的中点，且PDB为正三角形(1)求证：BC平面PAC；(2)求三棱锥DPBC的体积解：(1)PDB为正三角形，易得APB90APPB，故AP平面PBCAPBCBC平面PAC.(2)由(1)得PC2，SPBC4，AP10，VAPBCAPSPBC40，故VDPBCVAPBC20.24(2014河南适应性测试)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F是A1C1的中点，连接FB1、AB1，FA.求证：(1)平面FAB1平面ACC1A1；(2)直线BC1平面AFB1.解：(1)A1B1C1为正三角形B1FA1C1，AA1平面A1B1C1B1FAA1，易得平面FAB1平面ACC1A1.(2)连接A1B与AB1交于点O，连接OF，易得OF为A1BC1的中位线，得BC1平面AFB1.
