1、第二节 平面向量基本定理与坐标运算第二节 平面向量基本定理与坐标运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2，其中e1、e2是一组基底 2平面向量的坐标运算：(1)若 a (x1，y1)，b (x2，y2)，则 ab _(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(3)若a(x，y)，R，则a_ AB(x2y1，y2y1)(x，y)提示：零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任
2、意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是惟一的思考感悟任意两个向量可否作为一组基底？课前热身 1 下 列 关 于 基 底 的 说 法 正 确 的 序 号 是_ 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的 答案：2(2011 年镇江调研)已知向量 a(x3，x23x4)与AB 相等，其中 A(1,2)，B(3，2)，则 x 的值为_答案：1 3设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组：AD 与AB；DA 与BC；CA 与DC；OD 与OB，其中可
3、作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是_答案：4已知向量AB(6,1)，BC(2,5)，CD(2，3)，则AD _.答案：(6,3)考点探究挑战高考 平面向量基本定理及其应用 考点突破 1以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同 2对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映a与b的关系 3利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AM c，AN
4、d，试用 c，d 表示AB，AD.例1【思路分析】直接用 c，d 表示AB，AD 有难度，可换一个角度，由AB，AD 表示AN，AM，进而解方程组可求AB，AD.【解】法一：设AB a，AD b，则 aAN NB d12b，bAM MD c12a.将代入得 ad12 c12aa43d23c，将其代入得 bc12 43d23c b43c23d.法二：设AB a，AD b.因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点，所以BN 12b，DM 12a，因而cb12a，da12b，a232dc，b232cd，所以AB 23(2dc)，AD 23(2cd)【名师点评】选择一组基底，运用平面向量基本定理将条件
5、和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来求解或证明 向量的坐标表示及运算 首先区分清楚向量的坐标与点的坐标之间的区别及联系，其次要熟练掌握向量加法、减法与数乘的坐标运算规则已知 A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求AD 2BD 3BC；(2)设CM 3CA，CN 2BC，求MN 及 M、N 点的坐标例2【思路分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解【解】(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，AD(21,32)(3,5)，BD(22,31)(4,2)，BC(32,21)(1,1)，AD 2BD 3BC(3,5)2(4,
6、2)3(1,1)(383,543)(14,6)(2)CM 3CA，CN 2BC，MN CN CM 2BC 3CA，由 A、B、C、D 点坐标可得AC(3,2)(1，2)(2,4)MN 2(1,1)3AC 2(1,1)3(2,4)(4,10)设 M(xM，yM)，N(xN，yN)，又CM 3CA，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xM3，yM10，M(3，10)又CN 2BC，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0)【名师点评】(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程
7、中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行，并注意方程思想的应用(3)向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算互动探究 1 若例 2 改为：已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM 3CA，CN 2CB，求 M、N 的坐标及MN.解：法一：由 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得CA(2,4)(3，4)(1,8)，CB(3，1)(3，4)(6,3)，所以CM 3CA 3(1,8)(3,24)，CN 2CB 2(6,3)(12,6)，设 M(
8、x1，y1)，N(x2，y2)，则得CM(x13，y14)(3,24)，CN(x23，y24)(12,6)，所以 M(0,20)，N(9,2)，MN(9,2)(0,20)(9，18)法二：取点 O 为原点，则由CM 3CA，CN 2CB，可得OM OC 3(OA OC)，ON OC 2(OB OC)，从而OM 3OA 2OC，ON 2OB OC，所以OM 3(2,4)2(3，4)(0,20)，ON 2(3，1)(3，4)(9,2)，即点 M(0,20)，N(9,2)，MN(9,2)(0,20)(9，18)平面向量共线的坐标表示 ab的充要条件有两种表达形式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)
9、设 a (x1，y1)，b (x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同，第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0.而第(2)种是用坐标形式表示的，且没有b0的限制(2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.【思路分析】由向量的坐标运算求出ab的坐标，利用两向量平行的条件求m.例3【解析】ab(1，m1)，c(1,2)，依题意有 21m11m1.【答案】1【名师点评】向量共线的坐标运算关键在于计算准确，x1y2x2y10与数量积的计算公式不要混淆，其次，运算中注意有无特殊向量，如与x轴，y轴平行的向量，运
10、算中可简化计算 变式训练2(2011年徐州调研)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)设d(x，y)满足(dc)(ab)，且|dc|1，求d.解：(1)(akc)(2ba)，又 akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0，k1613.(2)dc(x4，y1)，ab(2,4)，又(dc)(ab)，且|dc|1，4x42y10 x42y121，解之得x4 55y12 55或x4 55y12 55.d4 55，12 55或4 55，12 55方法感悟 方法技巧1向量的坐标表示(1)对向量a(x，y)的理解
11、 ax e1y e2(e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)；若向量a的起点是原点，则(x，y)就是其终点的坐标(2)向量AB 的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标即：如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有AB(x2x1，y2y1)2向量的线性运算平面内每一向量 a 都有惟一对应坐标(x，y)，反之(x，y)惟一对应着OA(由向量相等，可看成与 a 惟一对应)因而向量的线性运算(向量的加法、减法及实数与向量的积)可转化为坐标运算，借助坐标运算可讨论向量平行(共线)等，可使问题变得简单，目标明确3平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件
12、若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则AB(x2x1，y2y1)，AC(x3x1，y3y1)，若(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0，则 A，B，C 三点共线失误防范1平面向量的基本定理要求用不共线的两向量作基底因而在解有关的题时，要观察题目中是否指出向量共线等条件 2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件也不能错记为：x1
13、x2y1y20，x1y1x2y20等考向瞭望把脉高考 考情分析 通过近几年江苏高考试题的分析可以看出，本部分内容的考查，填空题、解答题的形式均可能出现，一般以基础题的形式出现，难度不会太大，属中、低档题目，若在难度较大的题目中出现，则主要是作为一种运算或表示符号，是题目条件的一种表现形式 预测在2012年的江苏高考中，本部分内容仍将是考查的热点，要特别注意平面向量基本定理的考查，结合坐标运算考查两个向量的平行、垂直等位置关系规范解答 例(本题满分14分)(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条
14、对角线的长；(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0，求 t 的值【解】(1)由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则AB AC(2,6)，AB AC(4,4).4 分所以|AB AC|2 10，|AB AC|4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2，2 10.7 分(2)由题设知OC(2，1)，AB tOC(32t,5t).9 分由(AB tOC)OC 0，得(32t,5t)(2，1)0，12 分从而 5t11，所以 t115.14 分【名师点评】平面向量的坐标表示在运算中显得较为直观便捷，是向量的运算中较为简便的方法解题中要善于应用平面向量的坐标表示及运算，要注意培养和训练名师
15、预测 1已知点P(x，y)在直线2xy30上，向量a(2x1,2)，b(y1，3)，若ab，则点P的坐标为_解析：由 ab6x2y5，又点 P(x，y)在直线上，故有 2xy30，两式联立，即得 P 110，145.答案：110，1452在ABCD 中，AD(3,7)，AB(2,3)，对角线交点为 O，则CO 等于_解析：AC AB AD(2,3)(3,7)(1,10)，OC 12AC 12(1,10)(12，5)CO OC(12，5)答案：(12，5)3已知 A(1，3)，B(8，12)，且 A、B、C 三点共线，则 C 点的坐标满足的条件是_解析：设 C 点坐标为(x，y)，则AB(7，72)，AC(x1，y3)，A、B、C 三点共线，AB AC，则 7(y3)72(x1)0，即 x2y70.答案：x2y70 4已知向量OA(0,1)，OB(k，k)，OC(1,3)，若AB AC，则实数 k_.解析：由题意知，AB OB OA(k，k1)，AC OC OA(1,2)AB AC，2k(k1)0，k1.答案：1 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
